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证明连续函数在闭区间有界
叙述闭区间套定理并以此
证明闭区间
上
连续函数
必
有界
.
答:
闭区间
套定理:设闭区间{[an,bn]}满足:[an,bn]⊃[an+1,bn+1](n∈N+),limn→∞(bn−an)=0,则存在唯一的ξ,使ξ∈[an,bn](n∈N+)且limn→∞an=limn→∞bn=ξ.设f是[a,b]上的
连续函数
,下面用反证法证...
如何利用
闭区间
套定理来
证明
单调
有界
定理
答:
用二等分法构造区间套:将[a,b]等分为两个子区间,则至少有一个具有性质P,不妨记该区间为[a1,b1],则[a1,b1]含于[a,b] 。
闭区间
上
连续函数
的三大性质:介值定理,最大值定理,一致
连续性
定理,都是在他们需要出现的时候才出现,而且它们的
证明
都是用实数连续性定理证明的。整个体系可以用下图...
用有限覆盖定理
证明闭区间
上
连续函数
的
有界性
答:
考察[a,b]上的
连续函数
f(x)取ε=1,由
连续性
,对于[a,b]上的任何一点x,存在δ>0,使得当t属于(x-δ,x+δ)∩[a,b]时|f(t)-f(x)|
用有限覆盖定理
证明闭区间
上
连续函数
的
有界性
答:
考察[a,b]上的
连续函数
f(x)取ε=1,由
连续性
,对于[a,b]上的任何一点x,存在δ>0,使得当t属于(x-δ,x+δ)∩[a,b]时|f(t)-f(x)|
闭区间
上
连续函数
的性质
答:
闭区间上
连续函数
有三大性质:1.
有界性
(最大值和最小之定理):
在闭区间
上连续的
函数在
该区间上有界且取得它的最大值和最小值。2.零点定理:设函数F(x)在闭区间[a,b]上连续,且F(a)与F(b)异号,那么在开区间(a,b)内至少有函数F(x)的一个零点,即至少有一点t(a<t<b),使F(t)=0...
闭区间
上
连续
的
函数
有哪些性质?
答:
闭区间上
连续函数
有三大性质:1.
有界性
(最大值和最小之定理):
在闭区间
上连续的
函数在
该区间上有界且取得它的最大值和最小值。2.零点定理:设函数F(x)在闭区间[a,b]上连续,且F(a)与F(b)异号,那么在开区间(a,b)内至少有函数F(x)的一个零点,即至少有一点t(a<t<b),使F(t)=0...
求为什么
函数在闭区间
内
连续
不一定
有界
答:
所以
闭区间
上的
连续函数
一定是
有界
的。根据连续函数的性质,闭区间上的连续函数必存在最大值M和最小值n,我们取这两者绝对值较大者为K,显然k是这函数的一个界。即闭区间内连续必有界。但是,开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值,因而存在函数极限趋于无穷大的情况。比如,y=1/x在(0,+∞...
如何
证明函数在闭区间连续
?
答:
欲证明在开区间连续,要证明在每一点都连续。只要证明在这区间内的某一点 有定义,左右极限相等,进而可以证明在开区间内连续,但是这一点必须具有任意性。欲
证明在闭区间连续
,先证明在开区间连续,再证明在左端点右连续,在右端点左连续即可
闭区间
上的
函数
一定
有界
吗?(没说
连续
)求
证明
答:
函数在闭区间
上
连续
,函数的极限存在,函数在x0的某一邻域内有界。反证法:设函数f(x)在闭区间[a,b]连续,函数在[a,b]无界。将[a,b]划分为[a,a+b/2][a+b/2,b],设函数在[a,a+b/2]无界(函数不可能在两个
闭区间有界
),设a=a1,a+b/2=b1。将[a1,b1]划分为[a1,a1+b1/2][...
闭区间连续
用怎么
证明
?
答:
欲证明在开区间连续,要证明在每一点都连续。只要证明在这区间内的某一点 有定义,左右极限相等,进而可以证明在开区间内连续,但是这一点必须具有任意性。欲
证明在闭区间连续
,先证明在开区间连续,再证明在左端点右连续,在右端点左连续即可
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