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闭区间可导导函数连续
函数在
闭区间可导
,那么其
导函数
在该闭区间是否
连续
?
答:
是的,可导可以推出连续,但是连续不能推出可导。如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是
连续函数
。
函数可导
定义:(1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。(2)若对于
区间
(a,b)上任意一点(m,f(m))均可导,...
为什么在
闭区间
上
可导
就一定
连续
呢?
答:
首先在闭区间上
连续
是为了使用费马引理。其次在一点可导的一般情况,是左右导数都存在并且相等。所以如果将在开区间可导换为在
闭区间可导
,则对于端点处,可导性就成了左可导和右可导,这只是可导的特例,而作为定理,我们需要描述的是一般情况,因此用开区间。罗尔定理、微分中值定理、广义微分中值定理即...
函数
在
闭区间
内一定
连续
吗
答:
如果这个区间是开区间,那么
函数
在某开区间内
可导
的定义,就是这个函数在该区间内各个点处都可导。那么根据可导必然
连续
的性质,这个函数在该开区间内各个点都连续。所以这个函数在该开区间内连续。如果这个区间是
闭区间
,那么函数在这个区间内部各点可导,在左端点处有右
导数
,在右端点处有左导数。所以在...
为什么
闭区间
上
连续可导
但开区间不可导呢?
答:
实际上开区间可导是比
闭区间可导
稍弱一点的条件。
函数
在闭区间上可导 可以推出 函数在开区间上可导且函数在闭区间上
连续
。但反之,函数在开区间上可导且函数在闭区间上连续 却无法推出 函数在闭区间上可导。由此,闭区间上可导是一个更加严格的条件。在描述和适用某些公式定理时总希望把适用条件放宽些。...
如果
函数
在
区间
内
连续
且
可导
,那么它的
导数
在区间是连续的吗?为什么...
答:
连续,连续等价于△x→0时,△f'(x)→0,而极限△f'(x)=f'(x+△x)-f'(x)而由
导函数
定义得f'(x)=△x→0时的极限{[f(x+△x)-f(x)]/△x}={洛必达法则,上下同时对△x求导}=f'(x+△x)所以△f'(x)=f'(x+△x)-f'(x)=0,由
函数连续
的定义知该命题成立 ...
函数连续
和
函数可导
有什么区别?
答:
在数学中,连续是函数最弱的性质,而
导函数连续
是最强的性质 。 它们的逻辑关系:函数的
导数
连续的条件强于
函数可导
的条件,而其又强于函数连续的条件。导数的定义:如果f(x)在(a,b)内可导,且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在,则称f(x)在
闭区间
[a,b]上可导,f'(x)为区间[a...
为什么
函数连续
要开
区间连续
而
可导
要
闭区间
连续?
答:
因为函数在闭区间上连续要求左端点右连续、右端点左连续;而
函数可导
则要求函数在一点的左右导数均存在且相等,若为闭区间,则只能验证左端点是否有右导数,右端点是否有左导数,故函数在闭区间的端点处不可导。中值定理就是函数某点或者函数的某条斜率代替原函数的定理,所以需要
闭区间连续
开
区间可导
。
导函数连续
的必要条件是什么?
答:
(1)在
闭区间
[a,b]上
连续
;(2)在开区间(a,b)内
可导
,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 显然,罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形,拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。这样会使成立条件范围进一步缩小,因为原定理并没有强制要求两端点
导数
存在,也就是说原
函数
没必要在...
高数在
闭区间
上
连续
且
可导
怎么表示
答:
f(x)在
闭区间
[a,b]上
可导
。
函数
在某一点是否是可导的条件是:在该点的左、右
导数
相等;函数在某一点是否
连续
的条件是:在该点左、右极限相等且等于该点的函数值。函数在数学中是两不为空集的集合间的一种对应关系:输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。
“f(x)在[a,b]内
可导
,则它的
导函数
F(x)在[a,b]内
连续
” ?
答:
可导
必
连续
:证明:f(x)在Xo处可导,则Δx趋近0, lim(Δy/Δx)存在,设lim(Δy/Δx)=A,则有极限定义,有Δx趋于0,Δy/Δx=A+o(o表示无穷小),即Δy=A*Δx+o*Δx,所以当Δx趋于0,Δy也趋近于0,故在Xo处f(x)必连续。参考同济五版P84。
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