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a为mxn阶矩阵证明
设
A是mxn阶矩阵
,若r(A)=m,则AX=b一定有解
答:
若r(A)=m,则AX=b一定有解 这是因为
A是
满秩的,此时r(A)=r(A|b)如果此时,m=
n
,则有唯一解 m<n,有无穷多组解 m>n,是不可能出现的,这是因为
矩阵
的秩,等于行秩等于列秩,但不能超过行数或列数,此时出现了r(A)=m > 列数n,因此是不可能的。在数学中,矩阵(Matrix)是一个...
设
A是mxn矩阵
,r(A)=m,
证明
,线性方程组Ax=b一定有解。
答:
A=P(E, 0) Q 其中E
是mx
m单位阵,0是mx(
n
-m)零
矩阵
所以P(E,0)Q x=b 就是P(E,0) (Qx) =b 两边乘以P的逆P'得到 (E,0)(Qx) = P'b 把Qx分解成mx1和(n-m)x1两块矩阵 x1 x2 则上式等于x1 = P'b x2是任意常量 x = Q'(Qx), Q'是Q的逆 所以解求I出了,自然也...
a为mxn阶矩阵
,那么以A为系数矩阵的齐次线性方程组当m<n时,必有非零解...
答:
特别当
A是方阵
时 |A|=0。如果m<
n
(行数小于列数,即未知数的数量大于所给方程组数),则齐次线性方程组有非零解,否则为全零解。
求证
关于线代秩的
证明
题,谢谢。
A为mxn阶矩阵
,B为nxs阶矩阵,AB=0,求证...
答:
Ax=0 x为n维列向量 其解空间的维数为
n
-r(
A
)B中的列向量都是Ax=0的解 ∴r(B)<=n-r(A)即r(A)+r(B)<=n
设
A为mxn
实
矩阵
,AtA为正定矩阵,
证明
线性方程AX=0只有零解 急 没人会...
答:
设
A为mxn
实
矩阵
,A^tA是正定矩阵,所以|A^tA|>0,从而(A^tA)的秩是n 从而方程(A^tA)X=0只有零解.下面只要证方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解即可.1)设α设是方程AX=0的解,那么
Aα
=0 从而(A^tA)α=A^t(Aα)=A^t*0=0,即α是方程(A^tA)X=0的解 2)设α设是方程(...
设
A为mxn
实
矩阵
,AtA为正定矩阵,
证明
线性方程AX=0只有零解 急
答:
设
A为mxn
实
矩阵
,A^tA是正定矩阵,所以|A^tA|>0, 从而(A^tA)的秩是n 从而方程(A^tA)X=0只有零解。下面只要证方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解即可。1)设α设是方程AX=0的解,那么
Aα
=0 从而(A^tA)α=A^t(Aα)=A^t*0=0, 即α是方程(A^tA)X=0的解 2)设α设...
矩阵
行数和向量的行数
是
相等的吗?
答:
设
矩阵A为mXn
型,即m<n 那么A的秩是≤m的,因为A的秩等于它的行秩等于列秩,所以列秩≤m,而列向量有n个>m,所以必然线性相关。同理可知,若行数大于列树,那么行向量线性相关。数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法,这是一个几个世纪以来的课题,是一个不断扩大的研究领域。
如何
证明矩阵
可以相似对角化?
答:
Ax=
mx
,等价于求m,使得(mE-A)x=0,其中E是单位矩阵,0为零矩阵。|mE-A|=0,求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式,它的全部根就
是n阶方阵
A的全部特征值,这些根有可能相重复,也有可能是复数。如果
n阶矩阵
A的全部特征值为m1 m2 ... mn,则|A|=m1*m2*...*mn同时...
单位
矩阵
和零矩阵可以等于数值1和0吗?
答:
零矩阵定义上不可以,实际运用时可以等效;单位矩阵完全不可以。例如:
矩阵A为mxn阶矩阵
,则A+O(零矩阵)=(aij+0)mxn=A+0(数值0)单位矩阵只有对角线为1,其余为0,和数值1完全不一样
设a,b
为mxn阶矩阵
,c=(a,b)为mx2
n矩阵
,
证明
max(r(A),r(B))<=r(C)
答:
也就
是
说,C的所有列向量,都可以通过r(
A
)+r(B)个列向量,线性表示。即r(C)<=r(A)+r(B)另外,显然r(A)<=r(C)这是因为A中极大线性无关的向量组,在C中,也是线性无关的,而C中后
n
列,是否都能通过A中极大线性无关的向量组线性表示,是未知的。如果能表示,则r(A)=r(C),否则r...
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