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向量组线性相关矩阵的秩
线性代数
向量组的秩
,为什么
线性无关的
向量还可以表示其它的向量呢?
答:
举个最简单的例子吧,二维空间也就是平面向量,a,b两个向量垂直,就
线性相关
性来说,a,b
线性无关
,但是平面内任意一个向量都可以由a,b两个向量表示,三维空间以此类推,类推下去,n维
向量组
同样适用。
若A,B满足AB=0,证明A的列
向量组线性相关
,B的行向量组线性相关
答:
首先,A和B都是非零
矩阵
,要不然这个题没有意义了。(1)先证A的列
向量组线性相关
:我们把A用列向量组写成:A=[A_1,A_2,..., A_n], 这里每一个A_i表示的是A的第i列,现在A可以看成一个元素为A_i的行向量。B还是写成(b_ij), b_ij表示B的(i,j)位置 然后用分块矩阵乘法算AB=[ ...
线代,
向量组秩
的问题
答:
析:先看一个结论,若A=BC,则r(A)≤min{r(B),r(c)},若B可逆,则有r(A)=r(C).因为:C=B(逆)A,这样,r(C)≤r(A),有前面知r(A)≤min{r(B),r(c)},故r(C)≤r(A),即证r(A)=r(C).这道题由于(α1,α2,α3)
线性无关
,故可逆,有上面定理可知结论成立。
想问一下295题算出A
矩阵的秩
是2后,为什么a1、a2、a3
线性相关
?
答:
首先,r(α1,α2,α3)≤r(α1,α2,α3,α4)【这点,根据
向量组的秩
的概念很容易理解】然后,r(α1,α2,α3,α4)=2 ∴r(α1,α2,α3)≤2<3 从而α1,α2,α3
线性相关
。
怎么判断一个
矩阵
中的行
向量组线性相关
答:
只判断行向量组的线性相关性时, 横竖一样, 化梯矩阵求出
矩阵的秩
R(A)若R(A)等于行数则行
向量组线性无关
, 否则线性相关
设A为
矩阵
,则A的列
向量组
必然
线性相关
答:
若m≤n,则当A的行
向量组线性相关
时,它的列向量组必然也是线性相关的。证明:A的行向量组线性相关→r(A)<m,又m≤n→r(A)<n→A的列向量组线性相关所谓当A为n阶方阵时,即m=n时,当A的行向量组线性相关时,它的列向量组必然也是线性相关的。设a为m×n
矩阵
,b 为n×s矩阵,则由...
向量组的秩
与向量组等价有什么关系?
答:
向量组等价一般指等价向量组。向量组等价的基本判定是:两个向量组可以互相
线性
表示。需要重点强调的是:等价的
向量组的秩
相等,但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A:a1,a2,…am与向量组B:b1,b2,…bn的等价秩相等条件是 R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的
矩
...
秩
相同
线性相关
性相同吗
答:
如果 r(A) = n < m,则列
向量组无关
,行
向量组相关
。矩阵A称为fA的变换矩阵 这个定义的好处是适用于任何
线性
映射而不需要指定矩阵,因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度。使用计算机按上述方法求
矩阵的秩
时,可能涉及浮点数。此时基本高斯消去(LU分解)可能是...
线性无关
解和系数
矩阵的秩
有什么关系?
答:
主要是解与
矩阵的秩
的关系。设矩阵A的秩 r(A) = r,A为 m*n 矩阵,则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n - r(A) 个向量。系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系,比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目的正反比关系。对于任一
向量组
而言,,不是
线性无关
的就是
线性相关
的。向量组只包含...
矩阵
乘积
的秩
答:
rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)} 直接验证可知矩阵AB的列
向量组
是A的列
向量的线性
组合,故rank(AB)<=rank(A);同理,矩阵AB的行向量组是B的行向量的线性组合,故rank(AB)=AB的行秩<=B的行秩=rank(B),由这一点可以得到左乘右乘都成立。
矩阵的秩
定理:矩阵的行秩,列秩,秩都相等。...
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