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如何用矩阵的秩判断可逆
线性代数-
可逆矩阵
答:
阶单位矩阵,则称A 是可逆的,且B 是A 的逆阵,记作 A^(-1)。A是
可逆矩阵的
充分必要条件是(方阵A的行列式不等于0)。给定一个 n 阶方阵 A,则下面的叙述都是等价的:A 是可逆的。A 的行列式不为零。A
的秩
等于 n(A 满秩)。A 的转置矩阵 A^T也是可逆的。AA^T 也是可逆的。
满
秩矩阵
一定
可逆
吗?
答:
满
秩矩阵
一定可逆。因为满秩矩阵是
判断
一个矩阵是否可逆的充分必要条件。若矩阵是满秩矩阵,则为n阶方阵,|A|≠0,即|A|是A的n阶非零子式,符合可逆矩阵只要求|A|<>0的条件,即为可逆矩阵。同时,
可逆矩阵的
度行列式就是最高的不为零的子式(是n阶的),所以可逆矩阵也必然是满秩矩阵。有关...
如果非n阶
矩阵
知道
秩
的话
如何判断
其是否
可逆
?
答:
非N阶的只有左
可逆
和右可逆的概念(严重超纲),没有可逆(必须n阶)的定义。
如何
求
可逆矩阵
答:
1、秩为n:
可逆矩阵的秩
等于其行数或列数,即r(A) = n。这是因为可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,而初等矩阵的秩为1,因此可逆矩阵的秩为n。2、特征值不为0:可逆矩阵的特征值不为0,即存在一个特征值使得f(A) = 0,其中f是多项式,则f(A) = 0。这是因为可逆矩阵可以
通过
一...
为什么
矩阵可逆
,它
的秩
不变呢?
答:
r(A,B)>=r(B)>=r(AB)。r(AB)与r(A+B)没有直接关系。矩阵B
可逆
,AB
的秩
等于A的秩,那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵,而左乘初等阵就是对B进行初等行变换,所以它的秩不变。
矩阵的
应用:1925年海森堡提出第一个量子力学模型时,
使用
了无限维矩阵来表示...
可逆矩阵的秩
等于它的阶数
答:
因此,
可逆矩阵的秩
等于它的阶数。这一结论也可以
通过
反证法来证明。假设一个n×n的可逆矩阵A的秩小于n,即rank(A) < n。根据矩阵的秩的定义,矩阵A的非零行的个数小于n,那么矩阵A的列空间的维数也小于n,即dim(Col(A)) < n。而矩阵A是可逆矩阵,那么它的列空间的维数等于它的阶数,即dim...
如何
理解
矩阵的秩
与其逆矩阵的秩的关系?
答:
由定义直接可得n阶
可逆矩阵的秩
为n,通常又将可逆矩阵称为满
秩矩阵
, det(A)≠0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。由行列式的性质知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的,即rank(A)=rank(AT)。变化规律:(1)转置后秩不变 (2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵 (3)r(kA)=r(A)...
求逆
矩阵
答:
行初等变换法:(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。注意:初等变化只用行(列)运算,不能用列(行)运算。E为单位矩阵。一般计算中,或者
判断
中还会遇到以下11种情况来判断是否为
可逆矩阵
:1
秩
等于行数 2 行列式不为0 3 行向量(或列向量)是线性无关组 4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵...
如何判定
一个矩阵是
可逆矩阵
?
答:
重要定理 每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A,如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E(E是单位矩阵),则 A 为非奇异矩阵(或称
可逆矩阵
),B为A的逆阵。矩阵非奇异(可逆)当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当...
可逆矩阵的秩
等于其阶数吗
答:
可逆矩阵的秩
等于其阶数。矩阵A为n阶方阵,若存在n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位阵,则称A为可逆阵,B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在,则称为可逆矩阵或非奇异矩阵9,且其逆矩阵唯一。设A是n阶矩阵,若r(A)= n,则称A为满
秩矩阵
。但满秩不局限于n阶矩阵。若
矩阵秩
等于行数,称为...
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