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对称正定矩阵具体的特征
什么是
正定矩阵
答:
正定矩阵
是指那些对所有实数向量x都有x转置乘以矩阵A再乘以x为正数的实对称矩阵。
具体
来说,对于n阶实对称矩阵A,如果对所有非零向量x都有x^TAx > 0,则称矩阵A为正定矩阵。正定矩阵具有以下
特性
:所有
特征
值都是正数,所有特征向量对应的行列向量都是线性无关的。并且正定矩阵在实
对称矩阵的
相似对角...
收敛
矩阵
怎么判别?
答:
特征值判别法:如果矩阵 𝐴A的所有特征值的模都小于1,则矩阵 𝐴A是一个收敛矩阵。特征值的模小于1意味着对应
的特征
向量在迭代过程中的幅度会逐渐减小,从而导致整个迭代过程的收敛。Stieltjes判别法:对于实
对称矩阵
𝐴A,如果存在一个
正定矩阵
𝐵B使得 𝐵...
特征
值 历史
答:
早期伽罗瓦证明了当n>4时代数方程无公式解,继而人们转向求数值解,至此研究对象由代数方程转移到矩阵本身,随着计算机和数值分析理论发展,当今依靠矩阵的相似变换来求
矩阵的特征
值,一般采用Jacobⅰ和QR正交相似变换求矩阵的特征值与特征向量。在复数域对一元n次代数方程 特别是无公式解的高次方程,可直接...
为什么说
正定矩阵
必是实
对称矩阵
?如何证明?
答:
正定矩阵的
和仍然是正定,以及正实数与正定矩阵的乘积保持正定。这些性质进一步证实了正定矩阵与实
对称矩阵的
紧密联系。总结起来,正定矩阵的定义和其
特性
都指向了它必须是实对称矩阵这一结论。通过上述的分析,我们可以清楚地理解为什么说正定矩阵必是实对称矩阵,并且如何通过定义和性质来证明这一点。
为什么说
正定矩阵
必是实
对称矩阵
?如何证明?
答:
结论是,
正定矩阵的
本质属性之一就是它是实
对称矩阵
。实际上,正定矩阵的定义直接包含了这一
特性
。正定矩阵的定义要求,对于任何非零的实数向量z,其与矩阵M的乘积的转置再乘以z的结果zTMz必须大于0。这个条件只在矩阵是
对称的
情况下才成立,因为只有实对称矩阵才有转置等于自身的性质,从而保证zTMz与zTM...
正定矩阵
一定是
对称矩阵
吗?
答:
也一定是正定的,这是判断实系数
矩阵正定
性的必要条件。在复数情况下,这个性质依然适用。正定矩阵具有多个重要的性质,包括行列式的非负性、与单位矩阵的合同性、逆矩阵的正定性、
正定矩阵的
线性组合仍是正定的,以及与正实数的乘积仍为正定等。这些
特性
使得正定矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用。
几个证明题 关于
正定矩阵的
答:
充分性:已知AB=BA,由于A,B正定,存在可逆矩阵P,Q使得A=PTP,B=QTQ 下面看 Q(AB)Q逆=Q(PTP)(QTQ)Q逆=QPTPQT=(PQT)T(PQT),由于PQT可逆,因此由4题结论(PQT)T(PQT)正定,说明AB与一个
正定矩阵
相似,说明AB
的特征
值全大于0。再由AB=BA=BTAT=(AB)T,知AB为实
对称矩阵
,...
正定矩阵
一定是
对称矩阵
吗
答:
不是的 判断
正定矩阵的
方式是:每个顺序主子式(a11;a11 a12 a21 a22组成的矩阵;a11 a12 13 a21 a22 a23 a31 a32 a33组成的矩阵……)都大于零 则为正定矩阵
矩阵
乘上一个常数等于矩阵中的每一个元素都乘上这个常数吗?
答:
是的。
具体
公式为:行列式与k(常数)相乘=某行或某列元素×k,矩阵与k(常数)相乘=全部元素×k 矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个
矩阵的
列数和第二个矩阵的行数相同时才有意义 。矩阵乘积时,指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。
Gram
矩阵
答:
性质四: 对于实矩阵 A,若其半正定,那么存在 B 矩阵,使得 ABT 仍为半正定。这表明 A 的特征值非负,因为半
正定矩阵的特征
值都非负。利用实
对称矩阵
的正交对角化性质,我们可以进一步推导:由于 A 是实对称的,存在正交矩阵 P 使得 PTAP = D,其中 D 是对角矩阵,其对角线元素即为 A 的...
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