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矩阵的列向量线性组合
什么叫
向量
组
的线性
无关?
答:
1. 行向量组线性无关:如果一个
矩阵的
各行向量线性无关,意味着不存在非零的系数使得它们的线性组合等于零向量。换句话说,行向量组中的任何一个向量不能表示成其他
向量的线性组合
。这表明行向量组中的每个向量都提供了独立的信息,没有多余的冗余。2. 列向量组线性无关:如果一个矩阵的各
列向量线
...
怎么
判断一个
线性
方程组有没有解?
答:
对于非齐次线性方程组,可以表示为Ax=b,其中A是系数矩阵,x是未知变量向量,b是常数向量。要判断该方程组是否有解,我们需要比较系数矩阵A的秩和增广矩阵Ab的秩。如果A的秩等于Ab的秩,即rank(A)=rank(Ab),那么该方程组有解。这意味着增广矩阵中的常数向量b可以由系数
矩阵的列向量
的
线性组合
...
如果A的行
向量线性
无关,那么它
的列向量
呢?
答:
Ax=0只有零解,说明A是列满秩。因为换一个观点来看,Ax可以看做是对A的所有列向量做
线性组合
得到一个新向量,而组合的系数就是x的各个分量。如果Ax=0只有零解,表明A
的列向量线性
无关,就是要用A的列向量组合成零向量,组合系数必须都是0。此时A是列满秩
矩阵
,A的秩等于n(列数)。其实A如果...
为什么方阵A的伴随
矩阵
是一个秩=1的矩阵?
答:
一个方阵与其伴随
矩阵的
秩的关系:(1)当r(A)=n时,|A|≠0,所以|A*|≠0,所以r(A*)=n;(2) 当r(A)=n-1时,|A|=0,但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0(秩的定义),所以r(A*)大于等于1(A*的定义);为了证明r(A*)=1,下面证明 r(A*) 小于等于1 这里利用...
矩阵的
秩和伴随矩阵的秩之间有什么关系
答:
一个方阵与其伴随
矩阵的
秩的关系:(1)当r(A)=n时,|A|≠0,所以|A*|≠0,所以r(A*)=n;(2) 当r(A)=n-1时,|A|=0,但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0(秩的定义),所以r(A*)大于等于1(A*的定义);为了证明r(A*)=1,下面证明 r(A*) 小于等于1 这里利用...
非齐次
线性
方程组解的判定
答:
对于非齐次线性方程组,可以表示为Ax=b,其中A是系数矩阵,x是未知变量向量,b是常数向量。要判断该方程组是否有解,我们需要比较系数矩阵A的秩和增广矩阵Ab的秩。如果A的秩等于Ab的秩,即rank(A)=rank(Ab),那么该方程组有解。这意味着增广矩阵中的常数向量b可以由系数
矩阵的列向量
的
线性组合
...
非齐次
线性
方程组解的判定方法是什么?
答:
对于非齐次线性方程组,可以表示为Ax=b,其中A是系数矩阵,x是未知变量向量,b是常数向量。要判断该方程组是否有解,我们需要比较系数矩阵A的秩和增广矩阵Ab的秩。如果A的秩等于Ab的秩,即rank(A)=rank(Ab),那么该方程组有解。这意味着增广矩阵中的常数向量b可以由系数
矩阵的列向量
的
线性组合
...
伴随
矩阵的
秩怎么求?
答:
一个方阵与其伴随
矩阵的
秩的关系:(1)当r(A)=n时,|A|≠0,所以|A*|≠0,所以r(A*)=n;(2) 当r(A)=n-1时,|A|=0,但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0(秩的定义),所以r(A*)大于等于1(A*的定义);为了证明r(A*)=1,下面证明 r(A*) 小于等于1 这里利用...
abcd四个三维
向量
组成一个向量组,一定
线性
相关吗?为什么?
答:
是的,向量个数大于向量维数的向量组一定
线性
相关。因为以a,b,c,d
列向量
组成的
矩阵
是3行4列的,秩至多是3<4=向量个数,所以向量组线性相关。判除了用定义之外,用秩判断线性相关时,就是看秩是不是小于向量个数,小于就线性相关,等于就线性无关。理由如下:因为用定义判断的话,就是看齐次线性...
矩阵的
秩与其元素有何关联?
答:
其次,
矩阵的
秩可以通过其元素来确定。例如,对于二维矩阵,如果一个非零行向量可以由另一个非零行向量通过
线性组合
得到,那么这两个行向量就是线性相关的,因此矩阵的秩就会减少。同样,如果一个非零
列向量
可以由另一个非零列向量通过线性组合得到,那么这两个列向量也是线性相关的,矩阵的秩也会减少。
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