函数的上界和下界的绝对值不一定相等。
函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；
要证明f(x)在X上有界，必须找到一个M>0，使任意x属于X都有 |f(x)|<=M；要证明f(x)在X上无界，只需要找到一个数列{xn}存在于X,使f(xn) n趋于∞，f(xn)趋于∞
外界函数有界，复合函数必有界。
函数有界，从几何意义看就是图形被框定在两条平行于x轴的直线之间，不会跑出去；从代数意义看，就是函数值不会趋于正无穷大，也不会趋于负无穷大；当时并不意味着有极限，比如y=sinx，被框定在y=±1这两条直线之间，x→∞时，sinx游走于[-1,+1]之间。
扩展资料
函数的有界性与其他函数性质之间的关系
函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。
单调性：闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。
连续性：闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
可积性：闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
无界函数
类似的我们可以定义无界函数: 设ƒ为定义在D上的函数，若对于任何M（无论M多大），都存在x0∈D，使得|ƒ(x)|≥M。
参考资料来源：
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