(1+n)*n/2。
当n为偶数时:
1+2+3+4+...+n
= (1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+[4+(n-3)+..+[n/2+(n/2+1)]
= (1+n)+(1+n)+(+n)+(1+..+(1+n)
n/2个(1+n)
= (1+n)*n/2
即: 1+2+3+..+n= (1+n)*n/2
当n为奇数时:
1+2+3+4+...+n
= (1+n)+(2+(n-1)+(3+(n-2)+..+[(n-1)/2+(n-1)/2+2)]+(1+n)/2
= (+n(+(1+n)+(1++..+(1+n)+(1+n)/2
(n-1)/2个(1+n)
= (1+n)*(n-1)/2 + (1+n)/2
= (1+n)*n/2 - (1+n)/2+(1+n)/2
= (1+n)*n/2
即: 1+2+3+...+n= (1+n)*n/2
总结:
1)当n为偶数时: 1+2+3++...+n= (1+n)*n/2
2)当n为奇数时: 1+2+3+...+n= (1+n)*n/2
所以，不论n是奇数还是偶数，如下等式均成立。
1+2+3+4+..+n= (1+n)*n/2
假定n为偶数，将计算式1+2+3+4+...+n中两两之和相等的头尾两个数进行合并，最终推导出1+2+3+4+...+n＝ (1+n)*n/2。详细推导过程如图所示。
假定n为奇数，同样将计算式1+2+3+4+...+n中两两之和相等的头尾两个数进行合并，位于中间的数据(1+n)/2单独计算，最终推导出1+2+3+4+...+n＝ (1+n)*n/2。详细推导过程如图所示。
最终我们结合第一步和第二步的计算结果，得出如下公式：1+2+3+4+...+n＝ (1+n)*n/2。
发散级数：
无限的不一致性和奇异性使得数学充满了乐趣。如果你观察无穷级数1 + 2 + 3 + 4 +···，你会发现它的和不能给出一般意义上的一个确定的值，而是向无穷发散。这个级数叫作发散级数。发散级数本质上是一类无穷级数，其无穷序列的部分和没有有限极限。所以，为了更好地理解它我们来看看什么是部分和。
顾名思义，一个部分和是序列或数列中某个特定部分的总和。求和是从第一项到那个特定项的总和。为了更清楚一点，看看这个系列1 + 2 + 3 + 4 +····的部分和。
第一项(1) = 1
第一项+第二项(1+2) = 3
第一项+第二项+第三项(1+2+3) = 6
第一项+第二项+第三项+第四项(1+2+3+4) = 10
因此，序列1 + 2 + 3 + 4 +····的部分和为1，3，6，10，15...等等。那么，现在你一定已经理解什么是部分和了。
1+2+3+·…+n=(1+n)×n/2=n/2+n2/2。<br>1、算式中的加数是等差数列，等差数列可以使用求和公式进行计算，等差数列的求和公式为：Sn=[nx(a1+an)]/2。<br>2、根据上述公式可以知道，项数为n，数列首项为1，数列未项为n，因此，1+2+3+…+n=(1+n)×n/2=n/2+n2/2。
S = (n/2)(a + l)
其中，S表示和，n表示项数，a表示首项，l表示末项。
对于这个等差数列1+2+3+4+...+n，首项a是1，末项l是n，项数n是从1加到n的所有整数。
所以，这个等差数列的和公式可以写作：
S = (n/2)(1 + n)
举个例子，如果你要求解1+2+3+4+5的和，可以将n替换为5，然后套入公式得到：
S = (5/2)(1 + 5) = (5/2)(6) = 15。所以，1+2+3+4+5的和是15。
则a=n+……＋3+2+1
相加
2a=(1+n)++……＋＋(n+1)
=(n+1)+(n+1)+……＋（n+1)+(n+1)
=n(n+1)
所以原式＝n(n+1)/2
S_n = n * (n+1) / 2
其中，S_n表示前n个自然数的和，n为任意正整数。
例如，当n=5时，我们可以将其展开为1+2+3+4+5，根据公式可得：
S_5 = 5 * (5+1) / 2 = 5 * 6 / 2 = 15
因此，1+2+3+4+5的和为15。