(a+b+c)的8次方展开式项数？

Question

如题所述

Answer 1

可以用二项式定理将 $（a+b+c）^8$ 展开：
$$（a+b+c）8=\sum\limits_{k=0}8 C_8^k a{8-k}bkc^k$$
其中，$C_8^k$ 表示从 8 个元素中选出 k 个元素的组合数，它等于 $\frac{8！}{k！（8-k）！}$。
从上式中可以看到，任何一项都是 $a，b，c$ 的指数和为8。也就是说，当我们把 $（a+b+c）^8$ 展开后，$a，b，c$ 的指数之和只可能为 8。因此，要求 $（a+b+c）^8$ 的展开式项数，只需求出指数和为 8 的项数即可。
对于 $a，b，c$ 的指数和为 8 的项，可以通过计算组合数得到对应的系数，如下表所示：

$akb{8-k}$ 的系数
$akb{8-k}c^0$ 的系数
$akb{7-k}c^1$ 的系数
$akb{6-k}c^2$ 的系数
$akb{5-k}c^3$ 的系数
$akb{4-k}c^4$ 的系数
$akb{3-k}c^5$ 的系数
$akb{2-k}c^6$ 的系数
$akb{1-k}c^7$ 的系数
$akb{0-k}c^8$ 的系数

$C_8^0=1$ $C_8^0=1$ $C_8^0=1$ $C_8^0=1$ $C_8^0=1$ $C_8^0=1$ $C_8^0=1$ $C_8^0=1$ $C_8^0=1$ $C_8^0=1$
$C_8^1=8$ $C_8^1=8$ $C_8^1=8$ $C_8^1=8$ $C_8^1=8$ $C_8^1=8$ $C_8^1=8$ $C_8^1=8$ $C_8^1=8$ $C_8^1=8$
$C_8^2=28$ $C_8^2=28$ $C_8^2=56$ $C_8^2=70$ $C_8^2=56$ $C_8^2=28$ $C_8^2=8$ $C_8^2=1$ $C_8^2=0$ $C_8^2=0$
$C_8^3=56$ $C_8^3=56$ $C_8^3=168$ $C_8^3=280$ $C_8^3=280$ $C_8^3=168$ $C_8^3=56$ $C_8^3=8$ $C_8^3=1$ $C_8^3=0$
$C_8^4=70$ $C_8^4=70$ $C_8^4=280$ $C_8^4=560$ $C_8^4=700$ $C_8^4=560$ $C_8^4=280$ $C_8^4=70$ $C_8^4=14$ $C_8^4=1$
$C_8^5=56$ $C_8^5=56$ $C_8^5=280$ $C_8^5=560$ $C_8^5=700$ $C_8^5=560$ $C_8^5=280$ $C_8^5=70$ $C_8^5=8$ $C_8^5=0$
$C_8^6=28$ $C_8^6=28$ $C_8^6=168$ $C_8^6=280$ $C_8^6=280$ $C_8^6=168$ $C_8^6=56$ $C_8^6=8$ $C_8^6=0$ $C_8^6=0$
$C_8^7=8$ $C_8^7=8$ $C_8^7=56$ $C_8^7=70$ $C_8^7=56$ $C_8^7=28$ $C_8^7=8$ $C_8^7=1$ $C_8^7=0$ $C_8^7=0$
$C_8^8=1$ $C_8^8=1$ $C_8^8=1$ $C_8^8=1$ $C_8^8=1$ $C_8^8=1$ $C_8^8=1$ $C_8^8=1$ $C_8^8=1$ $C_8^8=1$
由于 $（a+b+c）^8$ 中指数和为 8 的项数即为组合数 $C_{8}^{k}$ （$k=0，1，2,...,8$） 的和，因此 $（a+b+c）^8$ 的展开式项数为：
$$ \sum_{k=0}^{8} C_{8}^{k} = 2^8 = 256 $$
因此，$（a+b+c）^8$ 的展开式共有 256 项。