怎么判断一个矩阵是不是正交矩阵？

Question

如题所述

Answer 1

关于怎么判断是正交矩阵如下：

正交矩阵是一个方阵，其列向量是一个标准正交基，即互相垂直且长度为1。判断一个矩阵是否为正交矩阵的方法如下:

1、求矩阵的逆矩阵，如果它的转置矩阵和逆矩阵相等，则该矩阵为正交矩阵。

2、求矩阵的列向量的内积，如果每个向量的内积都等于0，且每个向量的长度等于1，则该矩阵为正交矩阵。

3、判断矩阵的行向量是否满足互相垂直且长度为1的条件，如果满足则该矩阵为正交矩阵。

4、对于实对称矩阵而言如果其特征值都为实数目正交则该矩阵为正交矩阵。需要注意的是，正交矩阵的行列式值为1或-1，其特征值的模长均为1。在实际应用中，正交矩阵被广泛用于线性代数、数值计算和图像处理等领域，具有重要的理论和实际意义。

拓展知识：

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

恒等变换

恒等变换就是把一个解析式变成与它恒等的另一个解析式．使用恒等变换往往是在碰到的问题比较繁杂、一时难以下手的时候，通过恒等变换把要解决的问题简化，由未知到已知，最终解决问题．所以，恒等变换的特点就是：将复杂的问题通过表达形式的变形转化成容易解决的简单问题。