等价矩阵秩相等如何证明？

Question

如题所述

Answer 1

等价矩阵的定义是，如果矩阵
𝐴
A可以通过一系列的初等变换（行变换和/或列变换）变为矩阵
𝐵
B，那么称矩阵
𝐴
A与矩阵
𝐵
B等价。
初等变换包括三种类型：
交换两行（或两列）。
将一行（或一列）乘以一个非零常数。
将一行（或一列）的若干倍加到另一行（或一列）上。
这些操作不会改变矩阵的秩，即初等变换前后的矩阵具有相同的秩。下面给出证明：
首先，考虑第一种初等变换——行（或列）的交换。假设我们交换了矩阵中的两行（或两列），这对应于交换子式的位置。由于行列式的值是其元素按照特定规则相乘得到的，因此交换两行（或两列）并不会改变行列式的值，从而也不会改变矩阵的秩。
其次，对于第二种初等变换——将一行（或一列）乘以一个非零常数，这实际上是将该行（或列）的所有元素乘以该非零常数。这样的线性组合仍然保持了原有的线性无关性，因为非零常数不会使原本线性无关的向量组变得线性相关，所以这种变换同样不改变矩阵的秩。
最后，第三种初等变换——将一行（或一列）的若干倍加到另一行（或一列）上，可以看作是对行空间或列空间的线性组合进行重新分配。这种操作不会创建新的线性无关向量，也不会消除现有的线性无关关系，因此同样不会改变矩阵的秩。
综上所述，由于初等变换不改变矩阵的秩，因此等价的矩阵具有相等的秩。这是线性代数中关于矩阵理论的基本结论之一，它说明了矩阵的等价关系与矩阵的秩之间的联系。在实际应用中，这个性质使得我们能够通过初等变换来简化矩阵，同时保留矩阵的重要属性，如秩、解集等。
此外，矩阵的秩反映了矩阵列空间（或行空间）的维数，即线性无关的列向量（或行向量）的最大数量。等价矩阵具有相同的列空间（或行空间），因此它们的秩也必然相同。这也是从几何角度理解等价矩阵秩相等的一种方式。
总结来说，等价矩阵秩相等的结论基于等价关系是通过一系列不改变矩阵秩的初等变换得到的，这些变换保持了矩阵的线性无关性和维数不变，从而确保了等价矩阵的秩相同。