设A为奇数阶正交矩阵，且A的行列式为1，试证1是A的一个特征值

如题所述

推荐答案 2014-05-23

反证法：
因为正交阵特征值的模均为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A的特征值，那么A的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。注意到A是奇数阶的，所以除去成对出现的复特征值后必有奇数个特征值 -1. 这样，利用矩阵A的所有特征值之积就等于矩阵A的行列式 detA 可知：这奇数个-1与成对出现的复特征值之积为 detA=1. 但是，奇数个-1的乘积为 -1，成对出现的复特征值之积为1，它们的乘积也是-1，与 detA=1 矛盾。因此假设不成立1必为A的一个特征值。.

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第1个回答 2020-05-12

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