如图，在三棱锥V-ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，VA=3AC，点E为VC的中点．（Ⅰ）求证：平面VBA⊥平面VBC

Question

如图，在三棱锥V-ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，VA=3AC，点E为VC的中点．（Ⅰ）求证：平面VBA⊥平面VBC；（Ⅱ）求直线BE与平面ABC所成的角．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵∠VAB=∠VAC=90°，∴VA⊥AB，VA⊥AC，又AB∩AC=A，
∴VA⊥平面ABC．∴VA⊥BC．
∠ABC=90°，∴AB⊥BC，VA∩VB=V，
∴BC⊥平面VBA．又BC?平面VBC，
∴平面VBA⊥平面VBC．
（Ⅱ）过点E作EF⊥AC于点F，连接BF，则EF∥VA．
VA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
∴∠EBF为BE与平面ABC所成的角．
∵点E为VC的中点，∴点F为AC的中点．
∴BF=

1

2

AC，EF=

1

2

VA．
在Rt△EFB中，由tan∠EBF=

EF

BF

=

VA

AC

=

3

，∴∠EBF=60°，
∴直线BE与平面ABC所成的角为60°．