大一高数，来个真学霸！！！！这一面的题，全部求解。。。。呜呜真心不会做………来人救急！详解…做在纸
大一高数，来个真学霸！！！！这一面的题，全部求解。。。。呜呜真心不会做………来人救急！详解…做在纸上！要做就全部做完哦亲们要不然不知道该不该采纳勒～
f(b)=1/(a^b-1)+b+1/2
f(-b)=1/[a^(-b)-1]+b+1/2
若f(b)=f(-b)对任意的b>0成立，即
1/(a^b-1）=1/[a^(-b)-1]
则a=0
若f(b)=-f(-b)对于任意的b>0成立，即
2b+1=1/(a^b-1)+1/[a^(-b)-1]=1
解得b=0，与b为任意整数矛盾
综上所述：a=0时，f(x)为偶函数，其它情况非奇非偶
4.(1)《以下所有x趋于0》原式=lim[1/(1+cosx)]*lim[3sinx+x^2sin(1/x)/x]=1/2*lim[3sinx/x+sin(1/x)/(1/x)]=1/2*(3+0)=3/2
(2)这题打字太麻烦，用两次洛必达法则得出结果
(3)《以下x趋于e》原极限=lim[(1/x)/1]=1/e
(4)《以下n趋于无穷》原极限=lim{n/[根号（1+2+...+n)+根号(1+2+...+n-1)]}=limn/{根号[（n^2+n)/2]+根号[(n^2-n)/2]}=lim{根号2/[根号
（1+1/n)+根号（1-1/n)]}=根号2/2
5.《以下x趋于0》cos(x/2)cos(x/4)....cos(x/2^n)=sin(x/2^n)cos(x/2^n)cos[x/2^(n-1)]....cos(x/4)cos(x/2)/sin(x/2^n)=【(1/2)^n*sinx/sin(x/2^n)】运用等价无穷小把sin(x/2^n)换为x/2^n 【】=(1/2)^n*2^n*sinx/x=1
6.k/(k+1)!=(k+1-1)/(k+1)!=1/k!-1/(k+1)!
所以原级数=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+1/3!+......1/n!+1/(n+1)!=1-1/(n+1)!=1
7.设a>b，则 n次根号a^n<n次根号(a^n+b^n)<n次根号（a^n+a^n)
《以下n趋于无穷》 n次根号a^n=a
n次根号（a^n+a^n)=n次根号2a^n=n次根号2*n次根号a^n=1*a=a
所以所求极限为a.同理，b>a时，所求极限为b
综上所述：取c=max{a,b}，原极限=c
8.《以下n趋于无穷》
(1+2+....n)/(n^2+n+n)<原式<（1+2+...n)/(n^2+n+1)
(1+2+....n)/(n^2+n+n)=（n^2+n)/2(n^2+n+n)=1/2
(1+2+....n)/(n^2+n+1)=（n^2+n)/2(n^2+n+1)=1/2
所以原极限=1/2
9.因为X1=1，所以易知Xn大于0 Xn=1+X(n-1)/(1+X(n-1))<1+1=2
令X(n+1)-Xn>0,即1+Xn/(1+Xn)-Xn>0,解得：-1<Xn<2
所以所有Xn均满足，所以数列{Xn}单调递增有上界，所以极限存在，设极限为a
n趋于无穷时：a=1+a/(1+a) 解得：a=根号2=所求极限
10.原式子=cos{π*根号n/[根号(n+π)+根号n]}=cos{π/[根号(1+π/n)+1]}=cos(π/2)=0
11.f(x)当x右趋于1时，即比1大且无限接近1，极限值为1，因为f(x)为连续函数，所以f(1)=1,推得a+b=1.....T
f(x)当x左趋于-1时，即比-1小且无限接近-1，极限值为-1，因为f(x)为连续函数，所以f(-1)=-1,推得a-b=-1.....K
有T,K两式，解得a=0,b=1
12.f(x)当x右趋于1时,极限值为0；f(1)=1/2；f(x)当x左趋于1时，极限值为1
所以f(x)在x=1处为跳跃间断点，其余点连续
13.f(x)=x(x-1)/[x(x+1)]=(x-1)/(x+1)=1-2/(x+1)
f(x)由双曲线y=2/x平移而成，在x=0,x=1处无定义，在x趋于-1处趋于无穷
所以x=0和x=1是可去间断点，x=-1是无穷间断点追问
哥们，说实话我看不下去。。。。有纸吗。。。把第五题写写好么？。。
第五题答案是sinx/x
追答第5题我得出的式子就是sinx/x，x趋于0时趋于1，没有趋于0就是这个式子。我详细给你说吧，第5题是这样的：把原来的式子乘以sin(x/2^n)，然后利用sin2x=2sinxcosx这个公式，把cos连续乘掉，就变成了(1/2)^n*sinx，最后再除以刚开始乘的sin(x/2^n)，把sin(x/2^n)换成x/2^n这个等价无穷小，就得到sinx/x
追问搜噶！我再算算！
追答上面的回答哪里没看懂你就问
追问还是不会！！！怎么拆？！！sin（x/2^n）不能拆成其他的和cos相乘凑出来那个公式啊！
追答首先sin(x/2^n)乘cos(x/2^n)=(1/2)sin[x/2^(n-1)]，再用得到的这个sin[x/2^(n-1)]乘以cos[x/2^(n-1)]=(1/2)sin[x/2^(n-2)].......一直乘到sin(x/2)乘cos(x/2)=(1/2)sinx，每乘一次又一个1/2，
所以结果为(1/2)^n*sinx
天哪。。。大神。。！额懂了懂了谢谢了>_<
其他的看不明白再问你哈
嗳，我怎么感觉总共是n-1个1/2相乘，应该是1/2的n-1次方？
不好意思想错了，
嗯是n个
但是有一个问题，你看错题了貌似，x不是趋近于零
x趋近于无穷大的。不能等价无穷小代换
再怎么办？
追答x是不为0的任意数，n趋于无穷大，所以（x/2^n）趋于0，明白了吧？
追问那分母不就趋近于零了？！
答案那个最终结果sinx/x怎么弄出来的？
你这样分子分母都趋近于零了
你的意思是x可以为任意数所以也可以为趋近于零的数所以也可以用等价无穷小代换？？
追答。。。。这里的分子分母本来就趋于0。
t=（x/2^n）趋于0，把sint用等价无穷小换为t=x/2^n
原式=(1/2)^n*sinx/[x*(1/2)^n]=sinx/x
原来是酱紫(⊙o⊙)哇………
此题如何破。。。
追答用和差化积公式。原式=2sin{[根号x-根号(x+1)]/2}*cos{[根号x+根号(x+1)]/2}=
2sin{-1/2[根号x+根号(x+1)]}*cos{[根号x+根号(x+1)]/2}=0
谢谢呐～和差化积…就没咋用过…
上面那个第七题，n次根号下2×n次根号下a为啥等于a？n次根号下2当n趋近于无穷大的时候趋近于零，无穷小×有界函数等于无穷小所以这两个相乘不应该等于0吗？
追答n次根号下2当n趋近于无穷大的时候趋近于1不是零
追问为什么？？
知道了！！
不好意思不好意思晕了……
n次根号下n也等于1是吧？
追答是的。n次根号下n=n^(1/n)=e^[1/n*ln(n)]=e^0=1。2开n次根号=1的证明类似
追问上面第十一题，你为什么选择1和-1这两处求极限值，而不是选别的点？
追答因为n趋于无穷时，当a绝对值小于1时，a^n=0,；a绝对值=1时，a^n=1；a绝对值小于1时，a^n趋于无穷。a^n在a的绝对值在1附近时为分断点，11题的x的讨论也同理
追问噢……具体的，极限值怎么得到的啊…还有，x等于-1时，函数值分母就是零了这怎么求？
追答x=-1时，分母=1+1=2，分子=-1+a-b。这是负数的奇偶次方的问题。
追问嗯这是x＝-1时的函数值，极限呢？
追答x左趋于-1，x^(2n)和x^(2n+1)趋于无穷，分子分母同时除以x^2n，得出极限为-1
追问右趋近于-1的还用看吗？
对哎，右趋近于-1的如何求极限值……
追答随便你看不看，在题设条件下经过正确推导已经解出a，b，如果右趋于-1的极限和f(-1)，那就是出题人的问题了。事实上这道题在右趋-1时，极限为a-b，而a-b=-1还是与K相同的方程，同样，左趋于1时的极限为a+b，而a+b=1还是与T相同的方程
追问我会了会了！得同时用x＝1和-1的两次函数值等于极限值才能解出来！
13题，找间断点时不能化简完以后再找是吧？因为化简以后定义域变了是吗？
对是一样的！
嗯明白了…
追答是的，化简后的函数图像要去掉化简前的x=0，x=-1，x=1对应的三个点，就是一个双曲线去掉三个点。
话说你在这张卷子上也纠结得太久了一点点吧？
最后一个→_→13题，化简成1-2/x+1的形式以后无意义点就只有x等于-1的时候了。如果不看原式，就这个式子，根本看不出0和1也是间断点
平移那种方法不会…如果分别求左右极限来判断是什么间断点怎么做？
追答最后不是化为了y=1-2/(x+1)吗，就是把y=-2/x这个双曲线向下平移1，向左平移1，这是中学知识啊，小姐
追问。。。。。
我知道嘛。。。但是这种方法不常规啊……我好不容易会用分别求左右极限了……
这个不平移的方法咋做。。
追答 那就是把f(x)=1-2/(x+1)在x=0，1，-1的左右极限分别算出来。0左=-1，0右=-1；1左=0，1右=0，-1右=负无穷，-1左=正无穷
Orz
果真是理科学霸●_●
在么……去回答一下我新问的两个问题呗学霸╮(￣▽￣")╭
去直接回答，给你采纳QAQ
追答网址，小姐，下面一张图看不清楚
追问我想明白了呼，不过还是谢谢你哈。下次再问直接找你*罒▽罒*
去帮我看看这个问题呗学霸→_→
追答你拍的照片看不清楚
追问关于隐函数的一个问题，（3）怎么做呢，x的y次方，y作为常数还是自变量？两边求导得到什么啊？老这么问你怪不好意思的…又没法给你采纳…
采不采纳无所谓。。
隐函数求导是把y看成是关于x的函数
(3)《用【y】表示y的一阶导数》
方程两边取对数得：ylnx=xlny
两边求导：【y】lnx+y/x=lny+x/y*【y】
把【y】解出来，得【y】=(y² - xylny) / (x² -xylnx)
(4)《用【y】表示y的一阶导数》
两边求导：2xy+x^2【y】=2e^(2x)+cosy*【y】
解得【y】=[2e^(2x)-2xy]/(x^2-cosy)
>o<好银！！！
学霸来解救我
根据函数的局部有界性：因为a+极限存在，所以a的右半邻域内有界。
又因为(a,b]上连续，所以(a,b]上有界
我们老师说，根据a＋处极限存在可以知道这点连续，我觉得不对啊，a处右连续不光要存在有极限还要极限值等于函数值才行啊。你也是这么做的啊，a处连续再根据局部有界性。为什么啊？
局部有界性是什么？为什么a＋极限存在，a右半邻域就有界？而且看你这个条件没啥用啊，怎么就因为（a，b]连续就有界了……
追答是这样的，(a,b]和[a,b]，它们在a的足够小的右半邻域外的函数性质（包括有界性）是相同的，又因为(a,b]连续，所以只需要判定a的足够小的右半邻域的有界性，而由于lim[a+]f(x)存在，根据函数的局部有界性：《函数在一个点a处极限存在，则在a的足够小的邻域内有界》，说明和a的足够小的右半邻域有界。所以[a,b]有界
还有，函数在a处不一定连续
局部有界性我查的百度有人说是在a处连续则……到底是啥？我们课本上木有。
追答《函数在一个点a处极限存在，则在a的足够小的邻域内有界》
至于你说的在a处连续，这个结论也是成立的，因为在a处连续可以推知在a处的极限存在
但是在a处极限存在不一定a处就连续啊
追答刚才说了，在函数在a点不一定连续。请问我之前有哪句话表示了我认为函数在a处连续？
追问……昂，我是说…函数局部有界性到底是应该在a连续还是极限存在…因为这俩不一个意思…啊…
追答极限存在。因为在a处连续是a处极限存在的充分条件，所以也可以说a连续时局部有界。
==============================
a处连续》》》》》a处极限存在》》》》》》a处局部有界，懂了吧？
懂了…整个这题证明的思路还是很晕！先证明出闭区间ab上有界，再得到（a，b]有界是吗？？而证明闭区间上有界需要证明闭区间上连续，证明闭区间上连续就要证明在a点右连续……kao…我觉得我这个思路用不到你给我讲的！！白搭啊T^T
我这思路看来是白搭…算了…放弃了…按照你说的来…
这个问题…pass…T_T
证明m<=pf(a)+qf(b)<=M要用到p+q=1
追问为什么，在闭区间上肯定fx肯定是≥最小值，≤最大值，这不介值定理么
追答你把f(x)理解成什么了。。。。
给你个例子：y=x 在[1,2]上连续，则f(1)=1,f(2)=2取p=4，q=5
pf(a)+qf(b)=4*1+5*2=14
那么14是否在值域[f(1),f(2)]=[1,2]上？
额…这个…fx应该是啥…
追答f(x)就是f(x)。。。你不会认为f(x)=pf(a)+qf(b)吧？话说pf(a)+qf(b)也不是一个含f(x)的表达式啊？我承认我已经跟不上小姐你的思路了........unimaginable
追问……-_-||
这道题还不会做你再问。话说小姐你对数学这么有兴趣？
追问……啥叫还不会做…额我只能说，数学虐我千百遍我待数学如初见…kao，被虐习惯了呜呜
来来来→_→给我解释清楚，我都要疯了……我的舍友们已经放弃了…我还这么执着…T_T
其实刚才那个问题，有个地方还是没搞明白…！（a，b]上连续可以得到什么？
追答目的本来就是要证明含f(a),f(b)的那个式子在m和M之间
这个式子是一个关于p,q或者alpha，beta的函数，不是关于x的函数
嘎嘎嘎懂了懂了～会做了～
回到第一个问题…▂
追答(a,b]连续得到在[a,b]范围内去掉a的足够小的右半领域仍然连续
追问嗯，对～然后捏。
我们来捋一遍思路哈…
再然后能得到啥
追答[a,b]去掉a的足够小的右半领域得到的闭区间（记为F）连续，所以这个区间有界。要证明(a,b]有界，只需证明F和a的右半邻域均有界，已经证明F有界，则需要证明a的右半邻域有界，利用函数局部有界性得到a的右半邻域有界，所以(a,b]有界。这些在前面不是都说了吗？
追问╰_╯ 也许我需要多想想消化消化…应该是差不多懂了。谢谢你≧≦
十六题，这是最后一个问题了！！今晚真是太辛苦你的脑子和手了不好意思…
追答f(-1)=sin(-1)=-sin1 f(1)=sin1 即能否取得(-sin1,sin1)上所有值
f(0)=0，所以f(x)能取0 即当x不等于0时，1/x能否取得(-1,0)和(0,1)上的所有值
显然对于任意的a属于(-1,0)或者(0,1)方程1/x=a均有非零解，所以能取得
大神啊…比老师讲的明白多了！感觉你的脑子非人类所有啊→_→
为什么例十这种题，求二阶导数必须再对（3,1）式求一次导，代入y'，而不能直接对y'求导？
追答可以直接对y'求导，把y'用x,y表示出来，再两边对x求导
和对(3.1)式求导是一样的，因为《把y'用x,y表示出来》的式子就是(3,1)移项得到的
不啊，如果直接对y'再求导，y'＝-1常数求导就成零了啊
追答神奇的逻辑。。。任何一个横坐标的y'都会对应一个函数值，对y'求导是对这个函数求导，不是对某个横坐标对应的函数值求导。
因为任何一个横坐标的y'都会对应一个确定函数值，所以按照小姐你的逻辑，任何一个
函数在任何一个横坐标的二阶导数都为0？进而任何一个函数的二阶导数在R上恒为0？
啊我又被鄙视了……额还真的布吉岛啊！那y'对应的函数是啥啊？
追答y'对应的是一个关于x的函数，这个函数由这个方程确定。这道题里y'=(2x-y)/(x-2y)，其中y也是一个关于x的表达式。
关于你上面那种做法，给你举个例子：y=x^3 则：y'=3x^2 y'在x=1对应的值为y'=3，你把y'=3这个式子两边求导得到y''=0。那么就能得出y=x^3的二阶导数在任何一个点都等于0，这显然是错误的。而实际上y''=6x 在x=1对应的是y''=6
要西要西╰_╯懂了懂了…呼呼:D谢！^_^
f'(x)=(1/2)*x^(-1/2)
近似计算的话f(1.5)约等于f(1.44)+f'(1.44)*(1.5-1.44)=1.2+(1/2)*(1/1.2)*0.06约等于1.225
为啥不能这样，这样得数就不一样了呢…
追答近似计算要求x-x0的绝对值足够小，你这里x-x0=0.5，偏大
追问……怎么能衡量足够小还是足够大…有没有个标准…
追答没有取多大的标准，但是一般会要求绝对误差或者相当误差不超过某个值（具体而定），你取x-x0=0.5算出来明显误差偏大。这个近似计算实际上就是泰勒公式省去余项f"(a)/2(x-x0)^2《a在x和x0之间》，可见x-x0越小时，余项越小，从而误差越小
追问
-ln(1/x)=lnx.................(1)
把(1)式左边乘以-ln(1/x)，右边乘以lnx，得[ln(1/x)]^2=(lnx)^2
这种问题自己想想就明白了，没必要问别人
……我今天做了一堆题变形完和答案都不一样我也是醉了…化简半天各种变形>_<脑子实在拧不过来了所以才问的你嘿嘿嘿…~_~
6 :D
发错图了…-_-||
那个，我重新给你发一遍图
6.7.10…那个十题，如果求在x等于零的导数很好做，但是题目让求的就是导函数，用定义咋求？Orz
追答6：n趋于无穷时，[f(a+1/n)-f(a)]*n=f'(a) f(a+1/n)=f'(a)/n+f(a)
原式=[1+f'(a)/f(a)/n]^n 其中，f'(a)/f(a)/n趋于0
[1+f'(a)/f(a)/n]^n=[1+f'(a)/f(a)/n]^{[n*f(a)/f'(a)]*f'(a)/f(a)}=e^[f'(a)/f(a)]
7： F(x)=lim π*t*sin(x/t)*{[f(x+π/t)-f(x)]/(π/t)}=πf'(x)*lim[t*sin(x/t)]
等价无穷小替换sin(x/t)------x/t
F(x)=πf'(x)*x
F'(x)=[f''(x)x+f'(x)]π
这题的关键是把t看做变量，把x看做常量，把F(x)表达式算出来
10：x=0处你知道了我就不说了。x不等于0时，因为g(x)有二阶连续导数，所以直接对x不等于0时的表达式求导得到：[x(g'(x)+e^(-x)) - (g(x)-e^(-x))] / x^2
f'(x)=[x(g'(x)+e^(-x)) - (g(x)-e^(-x))] / x^2 《x不等于0》
f'(x)=(g''(0)-1)/2 《x等于0》
第六题第一个式子就没看懂→_→怎么弄出来的……还有…我发现我第十题x等于零的想错了，咋做-_-||
追答6题第一个式子是导数的定义：[f(a+1/n)-f(a)]/(1/n)=f'(a)
10题：x=0导数：lim{[f(x)-f(0)]/x}=lim{[g(x)-e^(-x)]/x^2} 用两次洛必达法则得：[g''(x)-e^(-x)]/2=(g''(0)-1)/2
这个是不是就是所说的“间断点处极限要用定义”？x＝0是间断点必须用定义，但x≠0的就可以用求导公式？
追答你这样说也对
追问
and…这俩~_~
追答第6题是我粗心了。应该是把原极限括号内的式子换为{1+[f(a+1/n)-f(a)]/f(a)}，指数换为f(a)/[f(a+1/n)-f(a)]*[f(a+1/n)-f(a)]/(1/n)/f(a)，再把[f(a+1/n)-f(a)]/(1/n)/f(a)换为f'(a)/f(a)
12：y'=f'(x+y)/[1-f'(x+y)] 因为f'(u)不等于1，所以继续求导：y''={f''(x+y)*[1-f'(x+y)]+f'(x+y)f''(x+y)(1+y')}/[1-f'(x+y)]^2
13：两边平方，x^2+y^2=e^[2arctan(y/x)] 两边对x求导：2x+2yy'=e^[2arctan(y/x)] *2/[1+(y/x)^2*(y'x-y)/x^2
把y'解出来，就是dy/dx
dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'
d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=y'' 即对y'关于x再求一次导
啥原极限括号内的式子啊？？从哪一步开始不对的啊？也就是说两边不能消掉？那能同时求极限吗？两边同时取对数都可以去掉不行？
还有啊12和13跟答案不大一样
原极限括号内的式子指的是要求的极限的底数。把这个极限写成（1+M)^[(1/M)*K=e^K的形式，再求K的极限
12题，化简的问题
13题，如果把等式两边先同时取对数，再求导运算要简单一点，不过结果都一样
等式两边都有极限符号时能消掉lim吗
追答不能。我那种做法不是消lim
追问
第六题中值定理哒•﹏•怎么做
追答构造函数g(x)=f(x)*x
g(0)=f(0)*0=0
g(1)=f(1)*1=0
g'(x)=f'(x)x+f(x)
由罗尔定理，(0,1)上存在一点c，使g'(c)=0
即f'(c)=-f(c)/c
大神不理我私信T_T好吧…洛必达又来了=_=十一题，肿么做>_<八成要用到等价无穷小代换把？不过我没弄出来…
事实是我根本没收到你的私信，大概是你输错我的ID了
10题：limx^sinx=lime^(sinx*lnx)=e^lim(sinx*lnx) 等价无穷替换》》lim(sinx*lnx)=lim(x*lnx)=lim{lnx/x^(-1)} 洛必达》》(1/x)/(-1/x^2)=-x=0 原极限=e^0=1
你的做法问题在于(1+a)^(1/a)=e要求a趋于0
11题：分母等价无穷替换为2x^3 洛必达》》[(secx)^2-1]/6x^2=(tanx)^2/6x^2 等价无穷替换》》=x^2/6x^2=1/6
纳尼我十题不对啊…T_T呼我吃完饭看看过程…啊我直接点的你的头像私信你的啊>_<
没你的私信
啊…啥情况，我也没收到你的私信-_-||
追答我知道怎么回事了。百度私信手机端和电脑端是分开的，就是说A在手机端给B发的私信，B要在手机端才能看见
追问我晕…=_=那我光这么从这儿问你多不好撒…
追答手机网页的百度知道》》我的知道》》（左下角点击）到电脑版
可以用手机给电脑端发私信
第三题咋做→_→
追答原式=e^lim【n*{ln[a^(1/n)+b^(1/n)]/2}】 令t=1/n
则原式=e^lim{[ln(a^t+b^t)/2]/t}
《下面lim符号省略》
洛必达：ln[(a^t+b^t)/2]/t=2/(a^t+b^t)*(a^tlna+b^tlnb)/2=1*(lna+lnb)/2=(1/2)*ln(ab)
e^[(1/2)*ln(ab)]=[e^ln(ab)]^(1/2)=(ab)^(1/2)
还有这个的第二问，为什么不能这么做：
第一个问题：t趋于0. lim[2/(a^t+b^t)*(a^tlna+b^tlnb)/2]=lim[2/(a^t+b^t]*[lim(a^tlna/2)+lim(b^tlnb/2)]=1*[(lna/2)*lima^t+(lnb/2)*limb^t]=1*(lna/2*1+lnb/2*1)=ln(ab)/2
第二个问题：你的f'(ξ)=1是怎么来的？如果是和η一样通过（0,1）的中值定理来的，那么你不能保证ξ和η是不同的点
啥意思啊…？就是和η一样得来的耶…怎么不能保证了啊？还有为啥要保证是不一样的点？
追答和η一样来的话ξ和η可能是同一个点（ξ和η都是(0,1)上的《某一个点》）。《还有为啥要保证是不一样的点？》====自己去读你的题目的第二个问
追问嗯嗯我后来注意到辣不好意西-_-||
我画出来的地方，我觉得大神你晓得我要问你啥吧^_^。。。
追答|f(x)|/|g(x)|=|f'(ξ)| 其中|g(x)|=|x|，|f'(ξ)|<=1
|f(x)|=|f'(ξ)|*|x|<=1*|x|=|x|<=1
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你这题条件里第一个划线的地方应该是|f'(x)|<=1
=======================
我觉得小姐你晓得下次问问题把问题打清楚了吧
你是说题错了？我就想问啊…≤就能得到题中需要证的＜？等于1就≤1？
追答x在(-1,1)上，所以|x|<1
追问我的意思是，最后一个式子，f'（ζ）小于等于1咋来的？推出的|f(x)|≤1,就能等同于题目中的＜1了？＜1可以说≤1，可≤1不一定就是＜1啊
追答|f'(ξ)|<=1由条件|f'(x)|<=1来
|f(x)|=|f'(ξ)|*|x|<=1*|x|=|x|<1
========================
由|f'(ξ)|<=1推出来的是|f(x)|<=|x|不是|f(x)|<=1
你的意思还是…答案不对啊？
追答把答案最后一个<=改成<
追问嗯…吆西…╮(╯▽╰)╭
拉格朗日中值定理证明→_→e的x次方＞1+x（x≠0）
追答x>0时，即证：(e^x-1)/x>1 令f(x)=e^x
拉格朗日中值:(e^x-1)/x=[f(x)-f(0)]/(x-0)=f'(a)=e^a 《a在(0,x)上》
因为e^a>e^0=1 所以(e^x-1)/x>1
x<0时，即证：(e^x-1)/x<1
同上：(e^x-1)/x=f'(b)=e^b 《b在(x,0)上》
因为e^b<e^0=1 所以(e^x-1)/x<1
不知道哪种方法更好>_<他这个我没怎么看懂但怎么你的做法这么麻烦还得分情况撒…
追答这是你的问题，没必要发给我
追问恩…表这么高冷嘛😓这个题肿么做😉
构造g(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)x
则g'(x)=f'(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)
g(a)=[bf(a)-af(b)]/(b-a)
g(b)=[bf(a)-af(b)]/(b-a)=g(a)
假设g(x)为常数函数，则g'(x)=0 即f'(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)，则f(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)x+B《与条件f(x)不为Ax+B矛盾》，所以g(x)不为常数函数。
因为f(x)在[a,b]连续，所以g(x)在[a,b]连续。取(a,b)上一点c,使g(c)不等于g(a)《因为g(x)不为常数函数，所以存在这样的点c》
中值定理：
g'(m)=[g(c)-g(a)]/(c-a) 《其中m在(a,c)上，c-a>0》
g'(n)=[g(b)-g(c)]/(b-c)=[g(a)-g(c)]/(b-c) 《其中n在(c,b)上，b-c>0》
因为[g(c)-g(a)]=-[g(a)-g(c)]
则g'(m)和g'(n)均不为0，且符号相反
所以m和n其中一点满足g'(ξ)>0，即f'(ξ)>[f(b)-f(a)]/(b-a)
明明是开区间，ξ怎么还能属于（ξ，1）？？ξ取不到啊
追答笑了...小姐你擦亮双眼看一下ζ(zeta)和ξ(xi)这两个字母
追问😰😂😂😂
介个介个介个…！什么意思啊？？罗尔定理不是找到一个函数，这个函数的导数为零么？？那这个题变形完以后是ln…那个式子导数为零，构造函数应该是ln…的那个啊
追答你打问号的那一步是积分(由导函数求原函数)，不是罗尔定理
{ln[f'(x)-1]}'=[f'(x)-1]'/[f'(x)-1]
(lne^x)'=x'=1
h'(x)=[f'(x)-1]'/[f'(x)-1]+1=0 是导函数等于0
h(x)=ln[f'(x)-1]+lne^x是这个导函数的原函数
学霸Orz 第四题怎么做→_→
追答令f(x)=arctanx-1/2arccos[2x/(1+x^2)]
《证明一个函数恒等于一个常数->证明这个函数的导数恒等于0》
f(1)=π/4-1/2arccos1=π/4-0=π/4
x>=1时，f(x)可导
f'(x)=1/(1+x^2)+1/2*[2x/(1+x^2)]'/√{1-[2x/(1+x^2)]^2}=0
所以f(x)恒等于f(1)=π/4
😊 懂勒 :) 3Q😝
第八题，着实米有明白他想考察啥知识点…>_< 咋做😖
追答取值范围
f(x)=arctanx+x^3/3-x
f(0)=0
f'(x)=1/(1+x^2)+x^2-1=1/(1+x^2)+(x^2+1)-2
1/(1+x^2)+(x^2+1)>=2 (在x=0时=2)
所以f'(x)>0 《x属于(0,+无穷)和(-无穷,0)》
所以使不等式成立的x范围为(0,+无穷)
😰可是答案是（负无穷，0）吖…
追答看错了。(-无穷,0)是对的，要求的是f(x)0的范围
追问嗯嗯…还有 无穷大－无穷大型 求极限 怎么整理化简？比如这个
原式=(x+6)*e^(1/x)-(x+6)+6=(x+6)*[e^(1/x)-1]+6
等价无穷替换[e^(1/x)-1]为1/x 原式=(x+6)/x+6=1+6/x+6=7
嗯…三个问题…第二题我画波浪线这个条件干嘛使的？没用吧…第三题，f'x≠1是不是就是＜或者＞1，符号是确定的？第三个，第五题咋做😝
一：给你一个函数值大于0的点，如果没有这条件，那f(x)可能恒为0，这样f'(x)也恒为0
二：就是>1或者<1啊，f‘(x)可能为1的任何数，符号不确定
三：原式=[1+f(x)/x]^[x/f(x)*f(x)/x^2]={[1+f(x)/x]^[x/f(x)]}^[f(x)/x^2]=e^[f(x)/x^2] 《构造分式x/f(x)用到在x=0的某去心领域f(x)不等于0》
limf(x)/x=0 说明limf(x)=0 对[f(x)/x^2]用洛必达：f'(x)/2x
对f(x)/x用洛必达：f'(x)/1=f'(x)=0 说明x趋于0时，f'(x)趋于0
所以对f'(x)/2x用洛必达：f''(x)/2=2
原极限=e^2
第二个哈，是不是就是f'（x）-1＞0或者＜0 ？
书名号里那个什么意思啊？我觉得那个条件没啥用啊。直接用洛必达求fx/x的极限不就好了？
追答就是f'（x）-1＞0或者＜0；
求极限过程有x/f(x)这个式子，这个式子要求f(x)不等于0才有意义
😖😖😖不太懂啊学霸T_T limf(x)/x=0能推出limf(x)就等于零吗？？
这个题求极限过程的式子是fx/x不是x/fx啊…
这俩人感觉说的都有道理诶…>_<到底哪个对😖😳
我的意思是我用到的[1+f(x)/x]^[x/f(x)*f(x)/x^2]这个式子当中的x/f(x)要求f(x)不等于0
这两个人下面那个说的是对的。上面那个所说的“limf(x)趋于0，就可以用洛必达，得出f(x)的导数也等于0，那么f(x)就是常数”这句话是错的，用洛必达法则得出的是f'(0)=0，不能得出f'(x)恒为0。lim(x->0)f(x)/x=lim(x->0)f'(x)=f'(0)
吆西～>o<～ 还是你懂我😂知道我哪不明白！！那哥们儿后来解释了一大堆，我看了你一句话就明白了😉！🎉
追答这么有悟性？
追问嘿嘿嘿…你教的好！😉
dy和dx到底什么意思？？这个d什么意思？？dy=f'xdx，dy就不是“对fx求导”，求积分后面跟的d（）又是什么意思啊？？？换元积分法完全没看懂啊…！！😭
dy dx里面的d什么区别？？dx=1和积分中d一个东西得到的都是它的导数，可是dy得到的就是导数×dx，为神马啊！！？😱
追答d是delta（Δ）的意思，dx是x的微元，就是很小的x。dy是y是微元
假设y=f(x)，dy/dx就是y的很小的改变量除以x的很小的改变量，就是f'(x)
dy/dx=f'(x) dy=f'(x)dx
比如y=sinx dsinx=dy=cosxdx
积分里的 ∫f'(x)dx= ∫dy=y+C=f(x)+C
为什么积分里的d（）得到的就都是（）的导数。比如dx就是1？？
追答不是已经回答了吗，比如括号内的是x^2。y=x^2,dx^2=dy=(x^2)'dx=2xdx。y=x时，dx=dy=(x)'dx=dx
都是从dy=f'(x)dx来的
∫dx 得多少为什么？∫d（cosx）得多少为什么？ 式子中没有被积函数了怎么求结果？
你给我解释的那个d（）我明白，但是就是因为这样啊，d一个东西得到的其实是他的导数再乘dx对叭？可是在积分中，比如∫cos3xdx换元积分就等于1/3∫cos3xd（3x）好像在这里就是直接求导的意思诶，d（3x）求导比dx多乘了个3所以前面再乘一个1/3，是这意思么？
追答有被积函数。y=1 ∫dx=x+C
∫dcosx=-∫sinxdx=cosx+C
或者换元，令cosx=t ∫dcosx= ∫dt=t+C=cosx+C
下面一个问题：dx=1/3d(3x) 所以∫cos3xdx=1/3∫cos3xd3x
对昂……dx=1/3d（3x）还是d在这里就可以理解成求导呗对不…？
换元解释方法我懂勒～方法第一种解释方法，∫d（cosx）为啥等于-∫sinxdx ？😱
dcosx=-sinxdx ∫dcosx=-∫sinxdx
d3x=3dx
之前不是说了吗，df(x)=f'(x)dx
😭😭😭泪奔。我貌似终于绕出来了…😣
也就是虽然d（）是整个表达式中的一部分，但实际上可以看做是和被积函数一体的，然后再∫积分。对么😔
追答于是你舍友们又放弃了？
追问😂😂我舍友们已经放弃高数…😂这是我在预习换元积分好纠结啊😔她们都还没看…😓
追答f(x)dx就是f(x)*dx
”预习换元积分“-----这么爱高数？
no no no…绝不是有刻苦钻研精神，投身数学王国的热情…=_= 只是学不明白会不爽😂
追答后面那个
追问😄😄😄吆西≧∇≦
为何第二换元法中要求ψt得是单调的？我查了查不是只有单调函数才有反函数的啊
追答你问得也太笼统了，我根本不知道你这个ψt指的是什么
追问额…
“不是只有单调函数才有反函数”------这是对的，但是可导(从而连续)的函数只有单调才有反函数。如果不单调，反函数就会出现一个自变量对应多个因变量的情形。这里的ψt显然可导，所以要求ψt单调
追问
:D这个题怎么破…
大神我会了T_T
帮我再看几个问题啊…
这俩有错没？
追答22题:∫d(x-3/2)/[(x-3/2)^2-1/4]=∫dt/(t^2-1/4)=∫1/(t-1/2)d(t-1/2)-∫1/(t+1/2)d(t+1/2)=ln(|x-2|/|x-1|)+C
5题对的
好哒！下面这三个我都做错了😓看错了都套公式了结果发现不对…正解是啥😊
1：令t=√(e^x+1) x=ln(t^2-1) 原式=∫tln(t^2-1)=2∫t^2/(t^2-1)dt=2∫(t^2-1+1)/(t^2-1)dt=2∫dt+2∫1/(t^2-1)dt=2t+∫1/(t-1)d(t-1)-∫1/(t+1)d(t+1)=2√(e^x+1)+ln(|√(e^x+1)-1|/|√(e^x+1)+1|)+C
2：令x=5tant 原式=2/5∫sectdt=2/5ln(sect+tant)+C tant=x/5 sect=√(x^2+5)/5
原式=2/5ln(√(x^2+5)/5+x/5)+C
3：令x=3/2sint 原式=∫3costdsint=3∫(cost)^2dt=3∫[1/2+cos(2t)/2]dt=3/2t+3/2∫cos(2t)d2t=3/2t+3/2sin2t+C
sint=2/3x t=arcsin(2/3x) 1/2sin2t=sintcost 自己算，懒得算了
4：令x=4/3sect 原式=1/4∫1/tantdsect=1/4∫sectdt=1/4ln(sect+tant)+C 剩下的自己做
😄大神辛苦了！🙏我慢慢看哈
这种的，怎么破😖
还有介个接下来咋办
追答28：令x=sint 原式=∫2sintcost/(1+cost)dt=-2∫cost/(1+cost)d(cost)=-2∫(cost+1-1)/(cost+1)d(cost)=-2∫d(cost)+2∫1/costdcost=-2cost+2ln|cost|+C sint=x cost=√(1-x^2)
原式=-2√(1-x^2)+2ln|√(1-x^2)|+C
29：一样的.......令x=sint 原式=∫cost/(sint+cost)dt=1/2∫[sint+cost-(sint-cost)]/(sint+cost)dt=1/2∫dt+1/2∫(cost-sint)/(sint+cost)dt=1/2t+1/2∫1/(sint+cost)d(sint+cost)=1/2t+1/2ln|sint+cost|+C
t=arcsinx cost=√(1-x^2) 原式=1/2arcsinx+1/2ln|x+√(1-x^2)|+C
后面一题
∫(1-x)/(x^2+1)^2dx=∫1/(x^2+1)dx-∫x/(x^2+1)dx
======================================
先积∫1/(x^2+1)dx,令x=tant 该式=∫(cost)^2dt=∫(1+cos2t)/2dt=1/2t+sin2t/2+C
t=arctanx sint=x/√(1+x^2) cost=1/√(1+x^2) sin2t=2sintcost=2x/(1+x^2)
该式=1/2arctanx+2x/(1+x^2)+C
======================================
再积∫x/(x^2+1)^2dx=1/2∫1/(x^2+1)^2d(x^2+1)=-1/[2(x^2+1)]+C
======================================
最后积∫x/(x^2+1)dx=1/2∫1/(x^2+1)d(x^2+1)=1/2ln|x^2+1|+C
======================================
原式=1/2arctanx+2x/(1+x^2)-1/[2(x^2+1)]+1/2ln|x^2+1|+C
tanarctanx和arctantanx是不是都等于x？什么区别啊？
BCd有米有反例哇？
这个题啊我算出来的是1/2lncos2x，觉得没错←_←但是和四个选项貌似差的…略大……
追答arctantanx和tanarctanx定义域不同，周期性不同
x^2是偶函数，x^3/3+1是它的一个原函数，但不是奇函数
cosx+1是周期函数,sinx+x不是周期函数。x单调，x^2/2不是单调函数
这种积分结果差异大的情况基本上都是因为积分方法不同。答案是把分母写成1-2（sinx）＾2(cosx)^2,再全部换成cos积分
追问arctantanx和tanarctanx定义域不同，周期性不同但是都等于x咩？
积分方法不同嗯…我那个化一化能对是不～？
我再试试😓