两个圆若是相交，则至多交于2点。减后的方程必定满足X、Y（就是两个交点），将两圆的方程相减即是默认两条方程中有共同的解X、Y。
换句话说，就是两个交点所共同满足的直线方程。我们知道，平面内2点间有且只有1条直线，那么这条直线就是所求的公共弦。
证明：
圆C1：(x-a₁)²+(y-b₁)²=r₁²或x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0
圆C2：(x-a₂)²+(y-b₂)²=r₂²或x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0
则过两圆交点的直线方程为：
(x-a₁)²+(y-b₁)²－(x-a₂)²－(y-b₂)²=r₁²－r₂²
或 (D₁－D₂)x+(E₁－E₂)y+F₁－F₂=0
这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式
设两圆分别为
x²+y²+c₁x+d₁y+e₁=0 ①
x²+y²+c₂x+d₂y+e₂=0 ②
两式相减得
（x²+y²+c₁x+d₁y+e₁）-（x²+y²+c₂x+d₂y+e₂）=0 ③
这是一条直线的方程
（1）先证这条直线过两圆交点
设交点为(x0,y0)则满足①②
所以满足③
所以交点在直线③上
（2）由于过两交点的直线又且只有一条
所以得证
扩展资料
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.在同一个圆内最长的弦是直径。直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。
圆的相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点中更具一般性。
参考资料来源：百度百科-公共弦
参考资料来源：百度百科-弦
两个圆方程相减是线性运算,那么两个交点也满足相减后的结果.
消去二次项之后所得二元一次函数是一个直线的方程.并且两个圆的交点满足这个方程,
换句话说,这个直线经过两个圆的交点.
另一方面,经过两个不重合的点的直线有且仅有一条.那么可以得到,两圆方程相减所得到的直线方程就是经过这两个交点的直线,也就是公共弦所在直线的方程本回答被提问者和网友采纳