两圆方程相减,就是公共弦方程(问题)

Question

用代数的方法,我能理解..
但是根据图象,这种方法怎么理解.?
两个圆的方程相减,也就是在坐标系里说把这两个圆上所有的点的坐标相减,
然后为什么就是公共弦的方程.?
有点迷糊,,是吧.?
我也是..请多多指教..

还有,为什么两个方程相减,就是求交点.?
最好通俗一点,谢谢

Answer 1

假设第一个圆的方程 是
f(x,y)=0
第二个圆的方程 是
g(x,y)=0
那么两圆相减 就是
f(x,y)-g(x,y)=0
我们发现
如果一个点 既在第一个圆上 又在第二个圆上 那么它就是两个圆的交点
那么这个点 要满足f(x,y)=0 又要满足g(x,y)=0
所以它一定满足f(x,y)-g(x,y)=0
所以交点一定在f(x,y)-g(x,y)=0这个方程上

然后我们发现 f(x,y)-g(x,y)=0 这条直线的斜率
等于连接两个圆心的直线的斜率的逆倒数
那么就是说这条直线和连心线垂直
过两个圆交点 又和连心线垂直 自然是公共弦~

两个圆的方程相减,也就是在坐标系里说把这两个圆上所有的点的坐标相减,
你这句话理解是错的
方程相减 跟坐标相减 没有什么联系~

Answer 2

　　可以这样理解，公共弦是什么？公共弦是一条线段，扩展一下就是一条直线，那么如何得到一条直线的方程呢，那么自然可以从已知直线上的两个点的坐标，用两点式求解。而公共弦的两个点实际上就是既满足在圆1上也满足在圆2上，实际就是两个圆的方程联立求解。
　　两个圆关于x,y的方程，分别设为 f1(x,y)=0 ， f2(x,y)=0， 所以，两个圆的交点坐标，自然是f1(x,y)=0 和f2(x,y)=0的联立求解，设想如果两个圆的方程确定，那么这条公共弦实际上是唯一确定的，因此，求公共弦方程就可以想着从f1(x,y)=0 和f2(x,y)=0的联立求解进行构造，且解唯一确定，因此，只要消去二次项就可以，所以，一般的情况是两个圆的方程相减来消去二次项，构造出一次项（即直线）方程。但是前提是x²系数需要提前归一化，如
x²+y²=1 和 （x-1）²+（y-1)²=1 直接相减就可以，而2x²+2y²=2和 （x-1）²+（y-1)²=1
或者x²+y²=1 和2（x-1）²+2（y-1)²=2,则需要先把两个圆x²的系数变成1，之后才可以相减，得到的公共弦方程是x-y=0