复变函数柯西积分公式

Question

如题所述

Answer 1

复变函数柯西积分公式如下：

柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理；他刻画了解析函数的又一种定义；人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数。通过柯西积分公式就可以把解析函数f(z)在简单闭曲线C的内部任意一点处的值由边界C上的值表示。

这是解析函数的又一特征。柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式，从而是研究解析函数的有力工具。

复变函数的积分

定义

一元实函数的自变量只能在x轴上向前向后走。复变函数的自变量可以在复平面上走，所以积分是基于路径的，与实函数的曲线积分有类似之处。

柯西定积分的定义

柯西定积分的定义可解释为：假设f(z)是一个在闭合曲线C上解析的复变函数，并且C是一个正向可求长的简单闭合曲线。这意味着f(z)在C上的每一点都存在导数，并且没有奇点。我们可以用参数方程表示曲线C，例如z=z(t)(a≤t≤b)，其中z(t)是一个连续可微的函数。

然后，柯西定积分∮Cf(z)dz被定义为沿着曲线C进行积分的结果。数学公式表达为∮Cf(z)dz=∫[a,b]f(z(t))z'(t)dt。

柯西积分定理：

柯西积分定理说明，在解析函数f(z)的条件下，如果一个闭合曲线C完全位于解析函数所在的区域内，那么这个曲线上的积分值为0。换句话说，如果f(z)是解析函数，则∮Cf(z)dz=0。这个定理可以通过解析函数的柯西－黎曼方程来证明。