线性代数，矩阵A,B各自可逆，那A+B可逆吗？A+E呢？该怎么判断？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵A,B各自可逆，A+B，A+E都不一定可逆。举反例

望采纳

Answer 2

A,B可逆，A+B不一定可逆，比如取B=-A，则A+B=0，不可逆。若取B=A，则A+B=2A，还是可逆的。
A可逆，A+E也不一定可逆，比如取A=-E，则A+E=0，不可逆。

判断可逆可以通过行列式，行列式非零，则矩阵可逆。但是|A|，|B|与|A+B|，|A+E|之间没有什么关系。追问

谢谢

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Answer 3

三年前我做过这样的题，不过现在忘光了追问

눈_눈。。。那你还回答，这样会害我问题停止推送Ok?

追答

（1）不一定。反例：若A可逆，则-A可逆，令B=-A，则A+B=A+(-A)为元素全零的矩阵，不可逆。
（2）不一定。若A是主对角全是-1，其余是0的矩阵，那么A+E是0矩阵，不可逆。