大学线性代数设A，B均为n阶方阵. 1.A，B满足A+B+AB=0.证明E+A，E+B互为逆阵，

大学线性代数
设A，B均为n阶方阵.
1.A，B满足A+B+AB=0.证明E+A，E+B互为逆阵，并且AB=BA
2.若B可逆，且满足A^2+AB+B^2=0.证明：A与A+B都是可逆矩阵

推荐答案 2013-10-28

1、A+B+AB=0，A+B+AB+E=E，(E+A)(E+B)=E，所以E+A与E+B可逆且互为逆矩阵。所以(E+B)(E+A)=E，E+A+B+BA=E，A+B+BA=0。将A+B+AB=0与A+B+BA=0联立得AB=BA。
2、A^2+AB+B^2=0，A(A+B)=-B^2。B可逆，所以-B^2也可逆，所以A与A+B都可逆。

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其他回答

第1个回答 2017-12-21

(E+A)( E+B)= E+A+ B+ AB
而（E+B）（E+ A）= E+A+B+BA
矩阵乘法不满足交换律AB不等于BA
并不能直接得出互为逆阵

相似回答

设A,B为n阶矩阵,如果E+AB可逆,证明E+BA可逆。答：所以 A = (E+AB)^-1A(E+BA)所以 (E - B(E+AB)^-1A)(E+BA)=E 所以 E+BA可逆且 (E+BA)^-1=E - B(E+AB)^-1A

设A、B均为n阶方阵,且B=B2,A=E+B,证明A可逆,并求其逆.答：要证明A可逆，即证明E+B乘以某个矩阵等于E，为了用上B=B2，因此乘的那个矩阵要含有B，当然也要含有E。证明：由于（B+E）（B-2E）=B2+B-2B-2E，又B=B2，故（B+E）（B-2E）=-2E 这样(B+E)B−2E/−2 ＝E，于是A可逆且A−1＝ B−2E/−2 ＝2E&#...

设A、B是n阶矩阵,且AB+E及A都可逆,证明(AB+E)的逆A为可逆的对称阵答：可按下图证明，对称阵之和也对称，对称阵的逆矩阵也对称。可逆矩阵的逆矩阵也可逆，可逆矩阵的乘积也可逆。

设A+B都是n阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)^-1A也是对称矩阵。式子解 ...答：证明：[(E+AB)^-1A]^T （解释：^T表示转置，楼主懂得，证明矩阵对称的思路：就是证明转置矩阵是否等于矩阵本身）另外，题中：A+B都是n阶对称矩阵。不对吧，应该是A和B都是n阶对称矩阵 [(E+AB)^-1A]^T =A^T[(E+AB)^-1]^T =A[(E+AB)^T]^-1 =A(E+B^TA^T)^-1 =A(E...

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