二元函数偏导数存在且 偏导数连续,那么这个函数是不是就是连续的?为什么?

Question

二元函数偏导数存在且 偏导数连续,那么这个函数是不是就是连续的?为什么?
答案是这样的:
偏导数连续--> 该函数可微
该函数可微--> 该函数连续
该函数可微--> 该函数在这一点偏导存在
其他的都不可以推出来
比如:第一条的逆向推理
该函数可微≠>偏导数连续

Answer 1

首先偏导数连续是可微的充分条件，偏导数存在是可微的必要条件，也就是说存在一些偏导数不连续的函数但仍可微，也存在一些偏导数存在的函数但不可微，而可微一定连续（连续不一定可微），所以从偏导数存在是得不出函数连续的，按照上面的分析，你写的那三条当然都是不能逆向推理的。事实上偏导数连续虽然能推出函数连续，但条件过强，而偏导数存在这个条件又由于太弱从而推不出函数连续，比较“适中”的条件是，偏导数在一点的某个邻域内有界，则函数在该点连续，这是一个定理。以上说的那些不能推出的，都是有反例的，有兴趣的话你可以自己在书上找找。追问

偏导数在一点的某个邻域内有界，则函数在该点连续

所指的偏导数在某个邻域内有界是什么意思?

追答

就是说存在M>0，存在该点的某个邻域，使得在这个邻域内偏导数的绝对值≤M，比如f(x,y)=lnx+lny，f'x=1/x，这个偏导数在(0,0)的任何领域内都是无界的。