若积分后在间断点处左右极限存在时,可能有原函数。举例说明如下:设F(x)=xsin(1/x),x≠0 ;x=0时,F(x)=0。 则f(x)=F'(x)=sin(1/x)-(1/x)cos(1/x),x≠0而x=0时,F'(x)不存在 。易知x=0为f(x)的第二类间断点,但f(x)有原函数F(x)。
例如:x3是3x2的一个原函数,易知,x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。
例如:已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ,就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当f(x)为连续函数时,其原函数一定存在。
原函数存在定理:
若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为“原函数存在定理”。
函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数,故若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个。