“f是R到R的连续函数，且f(x)不恒等于0，解函数方程:f(x+y)=f(x)f(y)”.

Question

如题所述

Answer 1

提供一个思路，不敢说证明多么严谨……
令x=y=0，得到f(0)=[f(0)]²，即f(0)=0或1
再令y=0，得f(x)=f(x)f(0)，又由于f(x)不恒为0，∴f(0)=1
令y=-x，得f(0)=f(x)f(-x)，∴f(x)=1/f(-x)，∴f(x)＞0
∴ln
f(x)=ln
[1/f(-x)]=-ln
f(-x)
令g(x)=ln
f(x)
∴g(x)=-g(-x)且g(0)=0，且g(x+y)=g(x)+g(y)
∴g(2x)=2g(x)
∴g(x+y)=2g[(x+y)/2]=g(x)+g(y)
由于f(x)是R上的连续函数
∴g(x)也是连续函数
∴g(x)的图像是一条直线
∴g(x)=kx
∴f(x)=e^(kx)