这是“函数极限保号性”的加强结果。
由于 f(x) 在 [a,b] 上非负且不全为 0，所以必存在 x0∈[a,b]，使 f(x0)>0。再由 f(x) 在 [a,b] 上的连续性，有
lim(x→x0)f(x) = f(x0)，
根据极限的分析（定量）定义，对 ε0=f(x0)/2>0，存在 δ>0，使得当 x∈[a,b] 且 |x-x0|<δ 时，
|f(x)-f(x0)|<ε0=f(x0)/2，
可得
f(x) > f(x0)-ε0 = f(x0)/2，
取 α = max{a,x0-δ}，β = min{b,x0+δ} 就是。
由于 f(x) 在 [a,b] 上非负且不全为 0，所以必存在 x0∈[a,b]，使 f(x0)>0。再由 f(x) 在 [a,b] 上的连续性，有
lim(x→x0)f(x) = f(x0)，
根据极限的分析（定量）定义，对 ε0=f(x0)/2>0，存在 δ>0，使得当 x∈[a,b] 且 |x-x0|<δ 时，
|f(x)-f(x0)|<ε0=f(x0)/2，
可得
f(x) > f(x0)-ε0 = f(x0)/2，
取 α = max{a,x0-δ}，β = min{b,x0+δ} 就是。
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