怎么比较log以2为底3的对数与log以3为底4的对数的大小

Question

如题所述

Answer 1

log(2)3=lg3/lg2 log(3)4=lg4/lg3 log(2)3-log(3)4=lg3/lg2-lg4/lg3=[(lg3)^2-lg2lg4]/(lg2lg3) 因为分母lg2lg3大于0.因此只要比较分子的正负就可以判断二个数的大小 又根据基本不等式,简单推导如下：若a,b是正数,则 [(a+b)/2]^2-ab=(a^2+2ab+b^2)/4-ab=[(a-b)/2]^2≥0 所以[(a+b)/2]^2≥ab,也就是ab≤[(a+b)/2]^2 在本题中的应用是 lg2lg4≤[(lg2+lg4)/2]^2 所以 (lg3)^2-lg2lg4≥(lg3)^2-[(lg2+lg4)/2]^2 =(lg3)^2-(lg8/2)^2 =(lg3)^2-(lg√8)^2 >0 ∴log(2)3-log(3)4>0 ∴log(2)3>log(3)4