大一高数定积分面积应用题

Question

如题所述

Answer 1

先求交点：
3cosθ=1+cosθ，cosθ=1/2，θ=±π/3
ρ=3cosθ，是直径3的圆，ρ=1+cosθ是心形线，关于极轴对称。
重合部分，±π/3之间，外轮廓为心形线，面积：
S1=2∫（0，π/3）0.5ρ²dθ
=∫（0，π/3）（1+cosθ）²dθ
=∫（0，π/3）（1+2cosθ+cos²）dθ
=∫（0，π/3）（1+2cosθ+(1+cos2θ)/2）dθ
=(3/2.θ+2sinθ+sin2θ/4)|（0，π/3）
=(3/2)(π/3)+√3+√3/8
=π/2+9√3/8
余下是两个弓形部分，边界是圆：
S2=2∫（π/3，π/2）0.5ρ²dθ
=∫（π/3，π/2）9cos²θdθ
=(9/2)∫（π/3，π/2）(1+cos2θ)dθ
=(9/2)(θ+sin2θ/2)|（π/3，π/2）
=(9/2)(π/2-π/3+0.5(sinπ-sin2π/3))
=(9/2)(π/6+0.5(-√3/2)
=3π/4-√3/4
S1+S2即得。