一元三次方程的求根公式

Question

如题所述

Answer 1

楼上胡说八道。
高等数学并没有说三次方程没有求根公式。事实上，3次和4次方程都有求根公式，5次及以上的高次方程才没有一般的解析公式。
3次方程求根公式是著名的卡尔丹公式
方程x^3+px+q=0的三个根为
x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
其中w=(-1+√3i)/2.
推导过程：
1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3=
A^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0
①
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的两个根。
解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
则u^3=A,v^3=B
u=
A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2
v=
B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2
但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：
u1=
A（1/3）,v1=
B（1/3）
u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2
u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω
那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即
x1=u1+v1=
A（1/3）+B（1/3）
x2=
A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2
x3=
A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω
这正是著名的卡尔丹公式。你直接套用就可以求解了。
△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。
当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；
当△<0时，有三个实根。
根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1,x2,x3,
则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.
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Answer 2

可用盛金公式
方法如下
一元三次方程aX3＋bX2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c2－3bd，
总判别式：
Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC＞0时，盛金公式②：
X1=(－b－3√Y1－3√Y2)/(3a)；
X2，3=(－2b＋3√Y1＋3√Y2)/(6a)±(3√Y1－3√Y2)√3i/(6a)；
其中Y1，2=Ab＋3a(－B±√(B2－4AC))/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：
X1=－b/a＋K；
X2=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC＜0时，盛金公式④：
X1=(－b－2cos(θ/3)√A)/(3a)；
X2，3=(－b＋(cos(θ/3)±sin(θ/3)√3)√A)/(3a)；
其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A√A)，(A＞0，－1＜T＜1)。

Answer 3

找个因式试，比如代x=1，x=2之类的进去，正好等的话就有x-
1或者x-2这个因式，然后用原来的多项式除，除下来的低次方程再解
不知道还有三次的公式，这是笨办法

Answer 4

首先3次项系数化为1
x^3+fx^2+gx+h=0
设x=y+t
y^3+3y^2t+3yt^2+t^3+fy^2+ft^2+2fty+gy+gt+h=0
注意到只有2个2次项,所以
3t+f=0
选取t=-f/3即可
第二问我不会

Answer 5