设随机变量X从(0.a)上的均匀分布,期望值为2,则X的方差为？

Question

如题所述

Answer 1

设随机变量 X 服从 (0.a) 上的均匀分布，其中 a 是一个单位小数，即 0 ≤ a < 1。
要计算 X 的方差，我们需要知道 X 的概率密度函数。对于均匀分布，概率密度函数 f(x) 在区间 (0.a) 上是常数，可以表示为 1 / (a-0) = 1/a。
我们已知 X 的期望值 E(X) = 2。根据期望值的性质，可以计算出 E(X²)：
E(X²) = Var(X) + [E(X)]²
根据题目给出的期望值 E(X) = 2，我们可以将其代入上面的方程得到：
E(X²) = Var(X) + (2)²
= Var(X) + 4
然后，我们可以通过计算区间 (0.a) 上 X² 在该区间上的积分来计算 E(X²)。对于均匀分布，概率密度函数是常数，因此可以将积分化简为 (1/a) * x² 在区间 (0.a) 上的积分：
E(X²) = [ (1/a) * x² ] 从 0 到 a
= (1/a) * (a² - 0²)
= a
将计算出的 E(X²) 代入原方程中，我们得到：
a = Var(X) + 4
通过求解方程，我们可以计算出 X 的方差 Var(X) = a - 4。

Answer 2

E(X)=2
=>
(0+a)/2 =2
a=4
X~ U(0,4)
E(X^2)
=(1/4)∫(0->4) x^2 dx
=(1/12)[x^3]|(0->4)
=16/3
D(X)
=E(X^2) -[E(X)]^2
=16/3 -4
=1/3