正五边形的每个内角是(5－2)×180°/5＝108°
连接圆心和一条边的两端，得到一个等腰三角形，其底角为108°/2＝54°，顶角为180°－2×54°＝72°
设正五边形的边长为a，外接圆的半径为r，则r＝a/(2cos54°)＝a/(2sin36°)
下面给出sin36°的求法：
由于sin36°＝sin(180°＝36°)＝sin144°＝2sin72°cos72°
＝4sin36°cos36°[2(cos36°)^2－1]
由此得到 8(cos36°)^3－4cos36°－1＝0
(2cos36°＋1)[4(cos36°)^2－2cos36°－1]＝0
由4(cos36°)^2－2cos36°－1＝0解出
cos36°＝(1＋√5)/4,
sin36°＝√[1－(cos36°)^2]＝√(10－2√5)/4.
所以r＝a/(2sin36°)＝a/[2√(10－2√5)/4]＝2a/√(10－2√5)
＝(√(50＋10√5)a/10
扩展资料
圆内接正五边形指内接于圆的正五边形。圆内接正五边形的每一条边相等（即圆的每一条弦相等），每个角均为108°，每个角在圆内所对的优弧相等。
内角和求法
因为五边形的内角和可看为3个三角形的内角和，所以，3×180°=540°
内角求法
据“正五边形的内角和求法”可知道，正五边形的内角和为540°。
因为正五边形的五个角均相等，且五边形的内角和为540°；
所以正五边形的每个内角均为540°÷5=108°
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