叉乘和向量积是什么关系，有什么区别？

Question

如题所述

Answer 1

叉乘（Cross Product）和向量积（Vector Product）是同一个概念的不同叫法，它们都是指两个向量在三维空间中的特殊积运算。这种运算的结果是一个向量，该向量垂直于原来的两个向量所在的平面。而向量点乘（Dot Product）或向量内积（Inner Product）则是两个向量在所有维度上的乘积，其结果是一个标量，代表了两个向量在相同方向上的分量之和。
以下是叉乘和向量点乘的对比表格：
| 对比维度 | 叉乘（Cross Product） | 向量点乘（Dot Product） |
|--|--|--|
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 几何意义 | 垂直于两个向量所在平面 | 在两个向量方向上的投影长度 |
| 计算公式 | \( \vec{a} \times \vec{b} \) | \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) |
| 符号表示 | \( \vec{a} \times \vec{b} \) | \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) |
| 应用场景 | 三维空间中向量的旋转和定向 | 计算向量间的角度和长度比例 |
| 交换律 | 不满足，如 \( \vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a} \) | 满足，如 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \) |
| 结合律 | 不满足 | 满足 |
| 方向 | 取决于两个向量所在平面的法向量 | 沿着两个向量所在直线 |
| 长度计算 | \( |\vec{a} \times \vec{b}| = |a| |b| \sin(\theta) \)，其中 \( \theta \) 是两向量夹角 | \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |a| |b| \cos(\phi) \)，其中 \( \phi \) 是两向量夹角 |
从上述对比可以看出，叉乘和向量点乘在结果类型、几何意义、计算公式、应用场景等方面都有明显的区别。叉乘得到的是一个垂直于原来两个向量所在平面的新向量，而向量点乘得到的是一个标量，代表了两个向量在相同方向上的分量之和。在实际应用中，选择哪种积运算取决于所需解决的问题和目的。

Answer 2

叉乘和向量积实际上描述的是同一个数学概念，它们在本质上没有区别。向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。给定两个三维向量A和B，它们的叉乘定义为一个新的向量C，其长度等于A和B向量的长度之积与它们之间夹角的正弦值之积，方向垂直于A和B向量所在的平面，满足右手法则。即，|向量C|=|向量A×向量B|=|A||B|sin<A,B>。
因此，叉乘和向量积描述的是同一个运算过程，都涉及到两个向量的长度和它们之间的夹角，并且运算结果都是一个新的向量。这个新向量的方向与原来的两个向量所在的平面垂直。所以，可以说叉乘和向量积是同一个概念的不同称呼，没有实质性的区别。本回答被网友采纳