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任何n个n维向量组成的方阵A,也就是n维满秩方阵,如线性无关,则必可化为n维单位矩阵吗?
任何n个n维向量组成的方阵A,也就是n维满秩方阵,如线性无关,则都可化为n维单位矩阵吗?
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推荐答案 2010-11-04
肯定是可以的,因为A是满秩方阵,所以A可逆,A^(-1)存在且也可逆
所以A^(-1)=p1p2……ps(可逆阵可以表示为有限个
初等矩阵
的积,这是定理)
A^(-1)A=E
p1p2……psA=E
左乘一个初等矩阵相当于对A进行一次初等行变换。
也就是说A可以经过有限次初等行变换化为E
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相似回答
如果
n个n维向量线性无关,
那么?
答:
如果有
n个n维的
向量,则它们
线性无关
的充要条件即以这些向量为列组成的行列式不等于0.证明:设a1,a2, ...,an是满足上述条件的n个向量。如它们线性相关,则有不全等于0的n个数:x1,x2,...,xn,使x1a1+x2a2+...+xnan=0 这意味着由这些
向量组成的矩阵A,
满足AX=0:其中X=(x1,x2,......
n个n维向量线性无关
则行列式不等于0 为什么?
答:
n个n维向量线性无关
,说明这n个n维向量的秩为n(n个极大
线性无关组
)既然
满秩
,那就意味着对应行列式为0!
线代:如果
n个n维向量线性无关,则
任一n维向量
a可
由上述向量组线性表出...
答:
记这个向量组为A r(A,a)≥r(A)=n ,又r(A,a)≤n 故r(A,a)=n=r(A),故a可由A线性表出,由于A
线性无关
,A,a线性相关,故a可由A线性表出,且表法唯一。
证明
n维矩阵
存在
n个线性无关
列
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答:
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