高一数学题 求解

Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的函数图像经过(-1,0)，是否存在常数a,b,c使不等式x≤y≤½（1+x²）对一切实数都成立
若存在求出a,b,c的值，若不存在请说明理由
用两种解题方法解题
（该题属于什么类型的题型，此类题目的解题规律或技巧是什么）

高分求解

Answer 1

解：y=ax²+bx+c的函数图像经过(-1,0)，代入a-b+c=0即b=a+c

先看x≤y，即x≤ax²+bx+c，

ax²+（b-1）x+c≥0满足时，

a>0,

(b-1)²-4ac≤0→(b-1)²â‰¤4ac→c>0

再看y≤½ï¼ˆ1+x²ï¼‰ï¼Œå³ax²+bx+c≤½ï¼ˆ1+x²ï¼‰

(a-1/2)x²+bx+(c-1/2)≤0满足时，

a-1/2≤0→a<1/2，

b&sup2;-4(a-1/2)(c-1/2)≤0→b&sup2;≤4(a-1/2)(c-1/2)→c<1/2

综上：0<a<1/2,0<c<1/2,b=a+c，这样的条件是可以满足的（例如a=1/4,c=1/4,b=1/2）。

这种题的类型，因为已经学过去很久了，忘了怎么说了。大概就是记住一些一般的规律，就像ax&sup2;+bx+c≥0时，即图形全在x轴上方，必须满足a>0,△≤0。

ax&sup2;+bx+c≤0时，即图形全在x轴下方，必须满足a<0,△≤0。

也没什么解题技巧，就是找出所有满足的条件。

Answer 2

函数经过（-1,0），a-b+c=0；
当x=1时，1=<y<=1,y=1,a+b+c=0;
b=1/2,a+c=1/2;
将y=ax2+1/2x+1/2-a带入y<=1/2(1+x2)
要求对一切X都成立可以得到（a-1/4）2<=0,a=1/4;c=1/4;
带入y>=x,得到1/4（x-1）2>=0,对于一切x都成立；
所以a=c=1/4，b=1/2；

解法2，函数经过（-1,0），a-b+c=0；
当x=1时，1=<y<=1,y=1,a+b+c=0;
b=1/2,a+c=1/2;
从图像上看，新函数y需在二次抛物线y=1/2(1+x2)与直线y=x组成的空隙内
可知新函数y与y=x切于点（1,1），可得2a+b=1，a=1/4，b=1/4带入不等式，均为恒成立之不等式，因此所求为1/4,1/2,1/4

Answer 3

该题属于函数可行域和二次函数的综合题，解决此类问题，要根据题意画图分析。由不等式x≤y≤½（1+x²）可以在xy坐标轴上画出可行域
由x≤y≤½（1+x²）可知二次函数y=ax²+bx+c必经过（1，1）点，并且二次函数y=ax²+bx+c的导数y'=2ax+b必过（1,1）点，这样可得：
a+b+c=1
a-b+c=0
2a+b=1
解得：a=1/4,b=1/2,c=1/4
所以二次函数y=1/4x²+1/2x+1/4

解法2，函数经过（-1,0），a-b+c=0；
当x=1时，1=<y<=1,y=1,a+b+c=0;
b=1/2,a+c=1/2;
从图像上看，新函数y需在二次抛物线y=1/2(1+x2)与直线y=x组成的空隙内
可知新函数y与y=x切于点（1,1），可得2a+b=1，a=1/4，b=1/4带入不等式，均为恒成立之不等式，因此所求为1/4,1/2,1/4

Answer 4

f(x)=ax²+bx+c,f(-1)=a-b+c=0
先假设不等式是成立的，然后将a-b+c=0代入消去c，得出两个恒大于等于零的等式：y-x=ax^2+(b-1)x+b-a>=0,1+x²-2y=(1-2a)x^2-2bx+(1-2b+2a)>=0
等式要想恒成立，则a>=0,(1-2a)>=0且ax^2+(b-1)x+b-a=0与(1-2a)x^2-2bx+(1-2b+2a)=0无实数根。得出结论是（2a-b)^2<0,假设不成立。

Answer 5

图解法 逆推也行

Answer 6

哇，突然发现高一的问题我都不会了，哎，惭愧