如何用基础解系表示标正交矩阵?

Question

如题所述

Answer 1

R4的基需要4个向量，现在只有两个，所以需要找到另外两个向量e3,e4，与e1,e2组成一个向量组，这个向量组是正交向量组，且是标准正交向量组，即e3,e4也是单位向量。
首先，e3,e4都与e1,e2都正交，所以e3,e4满足(e1,x)=(e2,x)=0，展开即是方程组
-2x1-x2+3x3=0
-6x1-3x2-5x3+14x4=0
求出基础解系：(1,1,1,1)T，(1,-2,0,0)T
其次，把(1,1,1,1)T，(1,-2,0,0)T正交化，利用施密特正交化方法，得(1,1,1,1)T，(5,-7,1,1)T。再单位化为e3=1/2(1,1,1,1)T，e4=1/√76(6,-7,1,1)T
这样得到e1=1/√14(-2,-1,3,0)T , e2=1/√266(-6,-3,-5,14)T,e3=1/2(1,1,1,1)T,e4=1/√76(5,-7,1,1)T是R4的一组标准正交基
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注：答案不唯一