施密特正交化公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

如下：

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，αm出发，求得正交向量组β1，β2，βm，使由α1，α2，αm与向量组β1，β2，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

这种正交化方法以JrgenPedersenGram和ErhardSchmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawadecomposition）。

在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。

Answer 2

施密特正交化公式是将一组线性无关的向量变为一组标准正交向量组的方法。具体公式为：设向量组V = {v1, v2, ..., vn}是线性空间中的一组线性无关向量，则可将该向量组正交化为一组标准正交向量组Q = {q1, q2, ..., qn}。求解过程如下：1. 求解q1，q1 = v1 / ||v1||，其中||v1||为v1的模长；2. 对于任意k \u003e 1，求解qk = vk - (q1·vk)q1 - (q2·vk)q2 - ... - (qk-1·vk)qk-1，其中·表示内积（即点乘），上述式子表示将vk在q1 ~ q(k-1)张成的空间中的投影减去vk本身，得到新的向量qk；3. 对于任意k，令Qk = {q1, q2, ..., qk}，则Qk是一组标准正交向量组。最后得到的向量组Q是经过施密特正交化处理的标准正交向量组。