如何证明函数有界例题

Question

如题所述

Answer 1

如何证明函数有界例题：证明f(x)=x/(x^2+1)是R上的有界函数。

证：|f(x)|=|x/(x^2+1)|≤|x/(2x)|=1/2对一切x∈R都成立，∴f(x)是R上的有界函数。

拓展资料：

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ(x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

等价定义：设ƒ(x)是区间E上的函数。若对于任意属于E的x，存在常数M>0，使得|ƒ(x)|≤M，则称ƒ(X)是区间E上的有界函数。正弦函数sinx和余弦函数cosx为R上的有界函数，因为对于每个x∈R都有|sinx|≤1和|cosx|≤1。

性质：

单调性：闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

连续性：闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

可积性：闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

函数有界性的计算方式：

设函数f（x）在数集A上有定义，如果存在常数M＞0，有则称函数f（x）在数集上A有界，否则称为无界。

函数有界性的注意点：

关于函数的有界性，应注意以下两点：函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一，从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界，如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。