什么是矩阵的相似对角化？

Question

如题所述

Answer 1

相似对角化的充要条件：是有n个线性无关的特征向量。

拓展：

实对称矩阵一定可以对角化。

实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值（包括重数），并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶矩阵共有n个无关特征向量，所以可对角化。

判断方阵是否可相似对角化的条件：

(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量；

(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k；

(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化；

(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

扩展资料

结论：

1、实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数，这个结论只对实对称矩阵成立，不要错误地使用。

2、两个实对称矩阵，如果特征值相同，一定相似，同样地，对于一般矩阵，这个结论也是不成立的。

3、实对称矩阵在二次型中的应用

使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化。