一元二次方程简介：
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0（a≠0）；
一元二次方程的解法主要有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
配方法简介与应用：
配方法是一种通过恒等变形将一个式子或这个式子的一部分化成完全平方式的数学方法；
配方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一；
配方法通常用来推导出一元二次方程的求根公式：把方程的左边化为完全平方，右边则化为一个常数。
运用配方法需要掌握的知识：
应用配方法首先要知道完全平方公式：（a+b）^2=a^2+2ab+b^2；
要掌握一些基本的如移项、约分、合并、化简等的运算的基本操作。
本题利用配方法的解题步骤：
首先判定该方程是否为一元二次方程：
a.若二次项的系数a=0，那么该方程不是一元二次方程，此时根据一元一次方程的知识进行求解。
b.若二次项的系数a≠0，则该方程为一元二次方程，可以用配方法求解其根。有如下步骤。
判定该方程是否有解：
a.若b^2-4ac<0，则该方程无实数解；
b.若b^2-4ac≥0，则该方程在实数范围内存在根；
将x^2项系数化为1，为配方做准备：
a(x^2+(b/a)x)+c=0
对括号里面的式子进行配方，凑出完全平方式的各项：
a(x^2+2x(b/2a)+(b/2a)^2)-a(b/2a)^2+c=0
将括号里面的化为完全平方式，并将其他项化简后移项到等号右端：
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
将完全平方式系数化为1，并判定b^2-4ac是否等于零：
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
a.若b^2-4ac = 0则进行开平方并求得未知数x：
x=-(b/2a)
b.若b^2-4ac >0则进行开平方并求得未知数x：
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
针对于a≠0，有两个不同根的一元二次方程的配方法解法附图：
总结：
配方法用来求解一元二次方程十分方便，是常用的求解方法之一。熟练运用配方法是进行一元二次方程学习的基本要求。另外，一元二次方程解法中的公式法就是由配方法推导出来的，可见配方法有多么重要。
备注：
运用配方法时需要注意，首先要判定该方程是否为一元二次方程，即确定未知数的二次项系数是否为零，确定是一元二次方程后才可以运用该方法解题；
在解题过程中，最后一步开平方求根的时候要注意，开平方得到的是正负两个数，再经过化简合并得到了两个根，而实际问题中可能两个根都满足，可能仅有一个满足，也可能都不满足，具体情况要根据实际问题考虑。
以上提到的知识、解法以及步骤参考了数学课本。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式为：ax²+bx+c=0（a≠0）。
［历史发展］公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。
大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x²+34x-71000=0的正根而解决的。中国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。
古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程x²+px+q=0的一个求根公式。
公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文radix。其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。
［满足条件］一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；
③未知数项的最高次数是2。
［方程形式］ax²+bx+c=0(a≠0)
其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
有分式，网页不好阅读，请看下图：
一、解题思路
1、化为一般形式,也就是ax²+bx=c=0的形式
2、将二次项系数化为1
3、将常数项移到等号右面,也就是移项
4、两边同时加上一次项系数一半的平方，并组成完全平方公式
5、开平方
6、算出x的值
二、具体算法
ax²+bx+c=0
两边同时除以a,得 x² + bx/a + c/a=0
移项,得 x² + bx/a = -(c/a)
两边同时加上(b/(2a))²，得 x² + bx/a + (b/(2a))² = -(c/a) + (b/(2a))²
整理得 x² + bx/a + ( b / (2a) )² = b² / (4a)² - c/a
既而得 ( x + b/(2a) )² = (b² - 4ac) / (4a²)
当b ²- 4ac >= 0 的时候方程有解
x + b/(2a)= ±( √(b² - 4ac ) / (2a) )
x= -b / (2a)±( √(b²-4ac) / (2a) )
x=( -b ±( √(b²-4ac) ) / (2a) )
当b ²- 4ac < 0 的时候方程无解
2、配方法的实际步骤如下：
① 方程两边同时除以 二次项系数 , 把二次项系数化为 1 ； ② 把常数项移到方程的右边； ③ 配方，就是在方程两边同时加上一次项系数的 一半 的 平方； ④ 将左边写成平方形式 ，右边合并 ； ⑤ 用直接开平方法，得到方程的解。
3、进一步用字母来表达，则过程如下：
∵ ∵ a≠0，
∴ 两边同时除以a ，得
x2+ bx/a+c/a=0
将常数项移到右边 x2+ bx/a=-c/a
两边同时加上（b/2a）²得
x²+2(bx/2a)+(b/2a)²=-c/a+(b/2a)²
左边化成平方形式 (x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²
∵a≠0，
∴4a²＞0，
当b²-4ac≥0时，两边直接开平方，得：
x+ b/ 2a =± √b2-4ac/ 2a ，
移项 得 x=-b/ 2a ± √(b2-4ac )/2a =[-b ± √(b2-4ac )]/2a
所以，方程有两个实数根：
∴x₁= [-b + √(b2-4ac )]/2a ，
x₂=[-b -√(b2-4ac )]/2a 。
经检验 ， x₁ 、x₂都符合方程，都是方程的根。
4、配方法的应用 用途很多，比如：
（1）、分解因式
利用配方法来分解因式，常常能将多项式配成A²-B²的形式,再用平方差公式分解。
例 分解因式 （a+b）⁴＋(a²-b²)²+(a-b)⁴
分析：题中实际上只含(a+b)和(a-b)两个式子，可分别运用"换元"方法，再进行配方。
设 a+b=m, a-b=n, 则
原式=m⁴+m²n²+n⁴=(m⁴+2m²n²+n⁴)-m²n²=(m²+n²)²-(mn)² =[(m²+n²)+mn][(m²+n²)-mn]
再反过来用(a+b)=m, (a-b)=n 代入， 得
原式=[（a+b）²+(a-b)²+(a+b)(a-b)][（a+b）²+(a-b)²-(a+b)(a-b)]
=(3a²+b²)(a²+3b²)
（2）解一元二次方程 例 2x²＋12x＋12=26
解; 化简得 x²＋6x＋6=13
配方得 x²＋6x＋9=16
(x＋3)²=16
两边同时开方 x＋3=±4
得 x₁=1, x₂=-7
(2)、求最值 例 已知实数x、y满足方程x²+3x+y-3=0，求（x+y）的最大值。
分析：可将y用含有x的式子来表示，再代入(x+y)，求值。
解：x²+3x+y-3=0 移项得 y=3-3x-x²，
代入(x+y)，得 x+y=x+(3-3x-x²)=-(x²+2x-3)=-[(x+1)²-4]=4-(x+1)²。
显然 (x+1)²≥0， 故4-(x+1)²≤4，即(x+y)的最大值为4。
（3）、证明”非负性“问题
例 求证 a²+2b+b²-2c+c²-6a+11 ≥ 0
解： 可以将11拆开成9+1+1，从而得 a²+2b+b²-2c+c²-6a+11
=(a²－6a＋9)＋(b²+2b＋1)+(c²－2c＋1)
=(a-3)²+(b+1)²+(c-1)²≥0 证明完毕。
(4)、 求抛物线的顶点坐标
例 求y=6x²+12x-6的顶点坐标。
解：y=6(x²+2x-1)=6(x²+2x-1+1-1)=6(x+1)²-12
这条抛物线的顶点坐标是（-1，-12）。
在第四行后面增加当b2-4ac<0，则无实数解，若b2-4ac>=0，则下面那三行抄下来。
这题主要是根据凑x前面的系数， 所有常数项移到右边即可