已知a>0，b>0，c>0，求证：(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>=16abc，并指出其中等号成立的条件。

Question

如题所述

Answer 1

a>0,b>0
a+1>=2√a
b+1>=2√b
当a=b=1时取等号

a>0,b>0,c>0
a+c>=2√ac
b+c>=2√bc
当a=c,b=c时取等号

四个相乘，右边=16√ab*ac*bc=16abc
当a=b=1 且a=b=c时取等号

所以
(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>=16abc
当a=b=c=1时取等号

Answer 2

a,b,c>0.故由基本不等式知，
a+1≥2√a>0,
b+1≥2√b>0,
a+c≥2√(ac)>0,
b+c≥2√(bc)>0.
再将该四个不等式相乘，可得
(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥2*2*2*2√[a*b*ac*bc]=16abc
"="成立的条件是"a=b=c=d=1".