什么是函数的有界性？

Question

如题所述

Answer 1

函数的有界性是指，当自变量在定义域内变化时，因变量总是在一个有限区间内取值的。所谓的“界”即界限，就是因变量取值总是在这个界限之内的。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界 。

函数有界性的性质包括：

1. 有界性是连续性的充分条件，但不是必要条件。

2. 有界函数在闭区间上的最大值和最小值分别为该区间端点处的函数值。

3. 有界函数在开区间上的最大值和最小值分别在该区间左端点和右端点处的函数值之间。

Answer 2

问题一：函数的有界性定义什么意思 这个定义还不怎么难理解。函数有界就是指在函数的定义域内，这个函数的所有函数值的绝对值不会比某个固定的正数M大。显然这个固定的正数M不是唯一的，比如若有一个正数M1满足条件，则任何一个大于M1的正数M2也满足条件，都可以作为定义里的固定数M，就像你举的例子sinx那样。至于为什么要用函数值得绝对值形式，是因为若没有绝对值，f(x) 问题二：关于函数局部有界性的理解问题 记住几个地方，现在说的是“局部”有界，而不是说“定义域”内有界。
就比方说，f（x）=1/x这个函数，在定义域内当然是无界的。这没啥疑惑的。
但是难道说，既然f（x）在定义域内有界，那么在定义域内的任何一个“局部”也就都有界？例如我们选择这样一些“局部”（1，+∞）；[2，3]；[-3，-2]等等
难道在这些“局部”区域内，f（x）也是无界的吗？
当然在这些“局部”内是有界的啦。
而这个“局部”的有界，和“整个定义域”内无界，不存在矛盾啊。

问题三：函数的有界性不唯一怎么理解？函数的有界性，是不是就相当于有最大值 应该意思就是说，有界函数的上界和下界都不是唯一的。是这个意思吧。
函数的上界的定义：如果函数f（x）始终满足f（x）≤m（m是常数）那么m就称为f（x）的上界。
函数的下界的定义：如果函数f（x）始终满足f（x）≥n（n是常数）那么n就称为函数的下界。
由上界和下界的定义可知，如果一个函数有f（x）≤m始终成立，那么f（x）≤m+1也必然始终成立，所以m+1也符合f（x）的上界的定义，此外m+2，m+0.4，m+100等等有无数个满足f（x）上界定义的数，所以这些数都是f（x）的上界。
同理，如果f（x）≥n始终成立，那么f（x）≥n-1也必然成立，所以n-1也符合f（x）下界的定义，此外n-2，n-4，n-0.2等等也有无数个满足f（x）下界定义的数，所以这些数都是f（x）的下界。
因此f（x）如果有上界和下界，则上界和下界不是唯一的，是各有无数个的。
而上界中，最小的那个，被称为上确界；下界中，最大的那个，被称为下确界。
上确界和下确界才是唯一的。