什么是函数的原函数？

Question

如题所述

Answer 1

x的原函数：对于一个定义在某区间的已知函数f(x)，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

例如：sinx是cosx的原函数。

常见函数及其对应原函数如下图：

原函数存在定理：

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数。

故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

结论：

1、f(x)连续 一定有原函数。

2、f(x)有第一类间断点一定没有原函数 。

3、f(x)有第二类间断点不一定有原函数。

4、原函数的条件最强，是否可积与原函数无联系。

5、f(x)可积or无界or有限个间断点都不一定有原函数。

6、f(x)有原函数，则原函数一定连续，并且可导。

以上内容参考   函数的原函数，可积性和变上限积分之间的区别和联系