高等数学用定义证明数列的极限

Question

用定义证明 核心就是 （E-N）定义验证

而且这个过程要用到不等式的放缩，那么对于不等式的放缩有要求么？

比如说lim (4n)^2 / (n方-n) =4 (n趋于正无穷） 答案上面放缩成了 (4n)^2 / (n方-n) -4 的绝对值小于等于8/n 如果我经过运算可以直接化简然后放缩到 小于等于 4/n呢？这样对么？

Answer 1

可以啊，只要放大缩小正确，当给出一个大于0的E，存在N使，当n>N使，(4n)^2 / (n方-n) -4 的绝对值小于E，关键是只要能找到这个N就OK了，因为是数列的极限，最后N要取整数部分。
就是说你找到了这个N，使得当n>N时，对于任意一个大于0的E，(4n)^2 / (n方-n) -4 的绝对值都比E要小

Answer 2

lim(4n)^2 / (n方-n) ≠4 (n趋于正无穷）

lim (4n)^2 / (n方-n) ＝16 (n趋于正无穷）

证明：[(4n)^2 / (n方-n)]-16＝[16n²-16n²+16n]/（n²-n）＝16/（n-1）

∴|[(4n)^2 / (n方-n)]-16|＝16/（n-1）

对于任意小的ε＞0,∵16／（n-1）＜ε←→n＞（16/ε）+1

取N＝[（16/ε）+1]+1.（[x]是x的“整数部分”，即不大于x的最大整数）。

当n＞N时。n＞[（16/ε）+1]+1≥（16/ε）+1.

有|[(4n)^2 / (n方-n)]-16|＝16/（n-1）＜ε。

这就用定义证明了：lim (4n)^2 / (n方-n) ＝16 (n趋于正无穷）