按定义证明下述数列为无穷大量{n - arctan n }

Question

如题所述

Answer 1

为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量，它开始是1，然后为如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说，这个变量的极限为0。所以，我们有必要对极限作深入研究。

一 数列极限的定义

1 数列的定义

定义：若函数的定义域为全体正整数集合，则称为数列。

注：记，则数列就可写作为：，简记为。

2 数列的例子

（1）；（2）（3）

2、什么是数列极限

1．引言

容易看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于零。

一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列。

据此可以说，数列是收敛数列，0是它的极限。

数列都是发散的数列。

需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。

以为例，可观察出该数列具以下特性：

随着n的无限增大，无限地接近于1随着n的无限增大，与1的距离无限减少随着n的无限增大，无限减少会任意小，只要n充分大。

如：要使，只要即可；

要使，只要即可；

任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。

如何找N？（或N存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可。这样当时，。

综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于1，即是对任意给定正数，总存在正整数N，当时，有。此即以1为极限的精确定义，记作或。

2.数列极限的定义

定义1 设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于a, a称为数列的极限, 并记作或.

若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。

[问题]：如何表述没有极限？

3。举例说明如何用定义来验证数列极限

例： 证明.

例： 证明.

例：证明 .

例：证明 .

例：证明 ，其中.

4 关于数列的极限的定义的几点说明

（1） 关于：① 的任意性；②的暂时固定性；③的多值性；④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数。

（2） 关于N：① 相应性；②N多值性。

（3） 数列极限的几何理解： “当时有” 所有下标大于N的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有N个（有限个）。

（4） 数列极限的等价定义（邻域定义）：

定义 任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限a.

由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。

例：证明都是发散数列。

二 无穷小数列

在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：

定义2 若，则称为无穷小数列。

如都是无穷小数列。

数列收敛于a的充要条件：

定理1 数列收敛于的充要条件是为无穷小数列。

三 收敛数列的性质

性质1（保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。

性质2（保号性） 若（或），则对任何（或），存在正数N，使得当时有（或）。

性质3（极限唯一性） 若数列收敛，则它只有一个极限。

性质4（迫敛性） 设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.

注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。

例： 求数列的极限。

性质5（有界性）若数列收敛，则为有界数列。

注：数列收敛则必有界，反之未必。例如数列有界，但它不收敛。

四 数列极限的运算

性质6（极限的四则运算法则） 若、为收敛数列，则也都收敛，且有

;

.

若再做假设及，则数列也收敛，且有

.

在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。

例： 求，其中.

例： 求。

五 单调有界数列

在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极限的存在性问题。

定义 若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列．

例如：为递减数列；为递增数列。

定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限。

例：设其中，证明数列收敛。

例：证明下列数列收敛，并求其极限：

例：证明存在。

六 无穷大量的定义

定义：设是一个数列。若

Answer 2

按定义证明下述数列为无穷大量{n - arctan n }（当n趋向于无穷大时）。

以上证明都没有按定义来证明！

按数列极限的定义严格证明如下：
任意的M>0，对于不等式|n - arctan n|>|n|-|arctan n|>n - pi/2>M 或n>M+pi/2,取N=[M+pi/2],则当任意的n>N时，都有不等式|n - arctan n|>M 成立。
这就证明了当n趋向于无穷大时，数列{n - arctan n}为无穷大量。

你也许看得不大明白，不过按定义证明就这么抽象。

此证明保证绝对正确，我可是数学专业的研究生。本回答被提问者采纳

Answer 3

最简单的方法是反用洛必达法则，证明它和X是等阶无穷大。lim(x-无穷)X - arctanX/X=1-1/1+X平方=1，所以为无穷大量。
按定义，既存在U（空心临域）（无穷，&）,只要X属于U，对任意M，便有f(x)>M.所以，！x-arctanx-n+arctann!<1(&=1).x-arctanx>n-arctann-1.因为arctanx的值域为[-圆周率/2，圆周率/2]。所以n-arctann-1>n-圆周率/2，令M=n-圆周率/2，所以得证。你把里面所有n换成x0.我打的实在太费劲了。
楼下yaozai_321剽窃，不过反用洛必达法则这种方法有争议。

Answer 4

完了,我的高数没前途了,总是想到一些巨S....的方法,因为limit(n-无穷)N=正无穷,limit(N-无穷)arctan n=派/2,所以limit(n-无穷)n - arctan n =无穷.
看不懂别怪我,在电脑上打数学式子真不是人干的活

Answer 5

lim(x-无穷)X - arctanX/X=1-1/1+X平方=1