x→∞函数极限的局部有界性

Question

如题所述

Answer 1

当X趋向于无穷时,函数极限的局部有界性定理:
如果lim(x->∞)f(x)存在,则存在正数X,使得当|x|>X时,f(x)有界.

证明:设lim(x->∞)f(x)=A,则由"ε-X"定义知,对于ε=1,存在正数M,使得当|x|>M时,
恒有
|f(x)-A|<ε=1, (1)
而 |f(x)|=|(f(x)-A)+A|≤|f(x)-A|+|A| (2)
所以由(1)、(2)可知|x|>M时,有
|f(x)|≤|f(x)-A|+|A|<1+|A|,
因此,当|x|>M时,f(x)有界.