概率论题目求解，证明S^2是D(X)的无偏估计

Question

证明S^2是D(X)的无偏估计

Answer 1

解：

设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn，其样本均值为

Y=(X1+X2+...+Xn)/n

其样本方差为：S=((Y-X1)^2+(Y-X2)^2+...+(Y-Xn)^2)/(n-1)

则EA=E(n*Y^2-2*Y*(X1+X2+...+Xn)+(X1^2+X2^2+...+Xn^2))

=E((X1^2+X2^2+...+Xn^2)-n*Y^2)

所以ES=VarX得证。

至于VarY=VarX/n的证明可以参考浙大版概率论P121定理一的证明。

存在问题：

(1)无偏估计有时并不一定存在。

(2)可估参数的无偏估计往往不唯一。统计学中，将存在无偏估计的参数称为可估参数，可估参数的无偏估计往往不唯一，而且只要不唯一，则即有无穷多个。一个参数往往有不止一个无偏估计。

(3)无偏估计不一定是好估计。

Answer 2

注意到

所以

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