证明:
(必要性)设A与B等价,则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵,而
初等变换不改变矩阵的秩,所以R(A)=R(B)。
(充分性)设R(A)=R(B),则A、B的标准型都为Er ,即A、B都与Er 等价,从而A与B等价。
扩展资料:
矩阵等价的性质
1、矩阵A和A等价(反身性);
2、矩阵A和B等价,那么B和A也等价(等价性);
3、矩阵A和B等价,矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性);
4、矩阵A和B等价,那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解
对于相同大小的两个矩形矩阵,它们的等价性也可以通过以下条件来表征:
(1)矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
(2)当且仅当它们具有相同的秩时,两个矩阵是等价的。
参考资料来源:百度百科-等价矩阵