连续自然数的平方和公式

Question

如题所述

Answer 1

连续自然数平方和公式是：n(n+1)(2n+1)/6

平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。此公式是冯哈伯公式(Faulhaber's formula)的一个特例。

证法（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1，n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1，3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1，2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1，把这n个等式两端分别相加。

(n+1)^3-1 =3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n，由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2，代人上式得：n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n。整理后得：1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。