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若n阶方程A既是正定矩阵,又是正交矩阵,证明:A是单位矩阵
如题所述
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第1个回答 2022-05-28
设对称矩阵的特征值分解是:
A=QtMQ (Qt表示Q的转置,下同)
其中M是A的特征值排成的
对角矩阵
AtA=E
QtMQQtMQ=E
QQtMMQQt=QEQt=E
M平方=E
又因为M是对角矩阵 所以M的对角线元素的
绝对值
必须是1
又因为A
正定
所以M的对角线元素(就是A的特征值)必须大于0
所以M=E
从而A=E
相似回答
如何
证明n阶矩阵A
即
是正交矩阵又是正定矩阵
当且仅当
A为单位矩阵
?
答:
如果A是单位矩阵
,则A是正交矩阵也是
正定矩阵,
这是显然的。
如果A既是正交矩阵
也是正定矩阵,则A=A'=A逆,所以A^2=E,A的特征值是1或-1。
又A正定,
特征值都是正的,所以A的特征值都是1。所以A相似于对角矩阵diang(a1,a2,...,an),a1,a2,...,an是A的特征值,都是1,所以A相似于单位...
n阶矩阵A既是正交矩阵又是正定矩阵
证明A是单位矩阵
?
答:
不能说明
A是单位阵
,要说明单位阵,除了说明:“
正交矩阵
表明A^(-1)=A',
正定矩阵
表明A合同于E,即A=C'EC,所以A^(-1)=A'=(C'EC)'=C'EC=A,故A为一对角矩阵”,还要加上:“由于A是正交矩阵,故|A|=1,因此A是单位矩阵”!
如何
证明n阶矩阵A
即
是正交矩阵又是正定矩阵
当且仅当
A为单位矩阵
答:
简单计算一下,答案如图所示
求证
:正交矩阵A是正定矩阵
的充分必要条件
为A是单位矩阵
答:
设k是A的特征值 则k是A^T的特征值,1/k是A^-1 的特征值 因为
A正交
,则 A^-1=A^T 所以 k=1/k 所以 k= 1 or -1 若
A正定
,则k=1.所以A的特征值都是 1.所以A与单位矩阵相似 所以 A =E.反之显然.
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