A为n阶实对称矩阵且A的各阶顺序主子式均大于零,证明:A为正定矩阵。答:【答案】:可以证明: A是n阶实对称矩阵, 则存在正交矩阵P, P'=P^-1 满足: P'AP = diag(a1,a2,...,an). 其中a1,a2,...,an是A的全部特征值 则A对应的二次型为:f = X'AX 令 X=PY 得 f = Y'P' APY = Y'diag(a1,a2,...,an)Y = a1y1^shu2+...+any^n 所以 A正...
A,B均是N阶是对称矩阵,且正定,那么AB一定是什么类型的矩阵?答:正定的。因为A,B都是正定矩阵,故必存在可逆矩阵P,Q使得A=P‘P,B=Q’Q于是有AB=P‘PQ’Q=P‘PQ’QP‘(E/P’)=(E/P)(PQ'QP')(E/P'),故AB相似于PQ'QP',而矩阵PQ'QP'=(QP')'QP',所以PQ‘QP’是正定实对称矩阵,故其特征值为正,所以AB的特征值也为正,所以AB是正定矩阵。(...
A,B均为n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B 为半正定矩阵,且B不等于0,证明...答:引理: 半正定矩阵的行列式小于等于其对角线上元素的乘积.证明: 矩阵退化时结论平凡, 故不妨设n阶矩阵A = (a_ij)正定.于是存在可逆实矩阵P, 使A = P'P, 其中P'表示P的转置, 用P_i表示P的第i列.可知A的对角元a_ii = ‖P_i‖² (P的第i列元素的平方和).我们将P_i单位化, 设...