内切圆公式为r=2s/(a+b+c)。
推导过程如下：
将大三角形ABC的面积分成三个小的三角形，即△OAB、△0BC、△OAC。
则S△ABC=S△OAB+S△0BC+S△OAC。
由切线的性质【切线和圆心的距离等于圆的半径】可以得出：
OE、OF、OG为圆的半径，即图中标注r的三条线段。
由切线的性质【切线垂直于经过切点的半径】可以得出：
OE⊥AB；OG⊥BC；OF⊥AC。
已知三角形的面积公式：S=底长×高÷2
设AB=c；BC=a；AC=b；则：
S△OAB=AB×r÷2= c×r÷2。
S△0BC= BC×r÷2=a×r÷2。
S△OAC= AC×r÷2= b×r÷2。
即S△ABC= c×r÷2+ a×r÷2+ b×r÷2=( c×r+ a×r+ b×r )÷2。
即2s=r(a+b+c)，r=2s/(a+b+c)。
若三角形ABC是直角三角形，内切圆半径公式为r=(a+b-c)÷2。
推导过程如下：
已知三角形的面积公式：S=底长×高÷2。
设AB=c；BC=a；AC=b；则：S△OAB=AB×r÷2= c×r÷2，，S△0BC= BC×r÷2=a×r÷2，
S△OAC= AC×r÷2= b×r÷2，S△ABC=AC×BC÷2= b×a÷2。
已知S△ABC=S△OAB+S△0BC+S△OAC，S△ABC= b×a÷2，S△OAB+S△0BC+S△OAC= c×r÷2+ a×r÷2+ b×a÷2=(a+b+c)×r÷2。
则，b×a÷2=(a+b+c)×r÷2，则，r= (b×a)÷ (a+b+c)。
因△ABC为直角三角形，直角三角形勾股定律：a+b=c，则，c= a+b=(a+b)-2ab，则，(a+b)- c=2ab，则，ab=[(a+b)- c]÷2。
根据前面得出的r=(b×a)÷(a+b+c)，则r=[(a+b)-c]÷2÷(a+b+c)=(a+b+c)(a+b-c)÷2÷(a+b+c)= (a+b-c)÷2。