大学数学分析中的可导、连续问题

Question

x*D（x）在0点是否可导？
构造函数： （1）仅在一个点可导，而在其他点间断
（2）仅在有限个点可导，而在其他点间断

注：真心求教，希望高手指导！

Answer 1

D(x)是一个处处不可导，处处不连续的函数。

设f(x)=xD（x）
由导数的定义知道
x趋于0，f'(0)=limD(x), 故f(x)=xD（x）在x=0不可导。

设f(x)=x²D（x），由D(x)的有界性知f(x)=x²D(x)仅在x=0可导。
当x0=0时 x趋于0， f'(0)=limxD(x)=0, f(x)=x²D（x）在x=0可导
当x0≠0时 由归结原理可得f(x)在x=x0处不连续，所以f(x)在x=x0处不可导。

（1）仅在一个点可导，而在其他点间断 f(x)=(x-a)²D(x)
（2）仅在有限个点可导，而在其他点间断 f(x)=(x-a1)²(x-a2)²…(x-an)²D(x)本回答被提问者采纳

Answer 2

用定义证明
1）x*D（x）仅在一个点0可导，而在其他点间断
2）x*（x-a1）*……*（x-an）*D（x）仅在有限个点0，a1，……，an可导，而在其他点间断